4. SOLUSI PERSAMAAN NON-LINIER

b) Metode Newton-Raphson Metode ini juga termasuk metode terbuka seperti halnya metode iterasi titik tetap. Rumus yang digunakan pada metode Newton-Raphson dapat diturunkan secara grafis maupun perluasan deret Taylor.

Penurunan rumus iterasi Newton-Raphson secara grafis f(x) Garis singgung kurva di titik xi dengan kemiringan f(xi) f(xi)  f(xi) x  xi+1 xi O Gambar 4.6

Sehingga iterasi Newton-Raphson didapat f(x) f(xi)   x  xi+1 xi O (4.11) Sehingga iterasi Newton-Raphson didapat (4.12)

f(x) f(x0)  f(x1)  f(x2)  x  ... O x2 x1 x0 s

Penurunan rumus iterasi Newton-Raphson dengan perluasan deret Taylor Perluasan deret Taylor dapat dinyatakan sebagai, Sebagai langkah untuk menghitung solusi hampiran, maka kita dapat mengabaikan suku-suku setelah turunan pertama. Sehingga deret taylor dapat ditulis menjadi, Pada saat kurva memotong sumbu x, maka f(xi +1) = 0. Jadi, atau (sama dengan persamaan 4.12)

Contoh 4.6 Tentukan solusi hampiran akar dari fungsi f (x) = e–x – x dengan menggunakan metode Newton-Raphson. Gunakan tebakan awal x0 = 0 dan s = 0,00000005 Penyelesaian f (x) = e–x – x  f(0) = 1 – 0 = 1 f (x) = –e–x – 1  f (0) = –1 – 1 = –2

i xi f (xi) f (xi) rh 1 -2 - 0.5 0.10653066 -2.64872127 2 0.56631100 1 -2 - 0.5 0.10653066 -2.64872127 2 0.56631100 0.00130451 -2.76175594 0.11709291 3 0.56714316 1.9648E-07 -2.76322261 0.00146729 4 0.56714329 4.44089E-15 -2.76322283 2.2106E-07 5 5.0897E-15

Kriteria Konvergensi Metode Newton-Raphson Prosedur iterasi metode terbuka xi +1 = g(xi) Prosedur iterasi metode Newton-Raphson Sehingga atau Selanjutnya didapat (4.13)

Karena syarat cukup konvergen maka metode Newton-Raphson akan konvergen jika (4.14) Latihan Tentukan solusi hampiran akar dari fungsi f (x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 dengan menggunakan metode Newton-Raphson. Gunakan tebakan awal x0 = 4 dan s = 0,000005

c) Metode Secant Metode iterasi Secant merupakan metode yang dihasilkan dari modifikasi dari metode Newton-Raphson dengan cara mengganti f (x) pada persamaan (4.12) dengan bentuk yang mendekati seperti pada gambar berikut. Dari grafik dapat dilihat bahwa metode secant membutuhkan dua buah tebakan awal, seperti halnya pada metode bagi dua (bisecftion) atau regula falsi. Bedanya dua tebakan awal pada metode secant tidak perlu mengurung solusi.

Substitusi (4.15) ke (4.12 didapat x O f(x) f(xi )  f(xi – 1)  s  xi+1   xi-1 xi  Gambar 4.7 (4.15) Substitusi (4.15) ke (4.12 didapat (4.16)

Contoh 4.7 Tentukan solusi hampiran akar dari fungsi f (x) = e–x – 3x2 dengan menggunakan metode Secant. Gunakan tebakan awal x0 = 0,5 dan x1 = 1 serta s = 0,00000005 Penyelesaian f (xi – 1 ) = f (x0) = f(0,5) = e–0,5 – 3(0,5)2 = –0,14347 f (xi) = f (x1) = f (1) = e–1 – 3(12) = –2,6321

i x  0.5 1 2 0.47118 1.12235242 3 0.46265 0.01842277 4 0.459 0.00796166 5 0.45896 7.6688E-05 6 2.2433E-07 7 6.2779E-12

Latihan Tentukan solusi hampiran akar dari fungsi f (x) = e–1/2x – 3x2 + 1 dengan menggunakan metode Secant. Gunakan tebakan awal x0 = 0 dan x1 = 1 serta s = 0,000005

ganda tiga, maka m = 3, dan seterusnya. 4.2.3 Akar Ganda Salah satu cara untuk menemukan agar ganda dari suatu fungsi adalah dengan menggunakan alternatif lain dari metode Newton-Raphson seperti yang diusulkan oleh Ralston dan Rabinowitz yaitu dengan menggunakan rumus, (4.17) Koeffisien m adalah multiplisitas dari akar. Jika suatu fungsi mempunyai akar: tunggal, maka m = 1 ganda dua, maka m = 2 ganda tiga, maka m = 3, dan seterusnya.

Kita harus mengetahui terlebih dahulu multiplisitas dari akar. Kelemahan dari metode alternatif yang diusulkan oleh Ralston dan Rabinowitz adalah: Kita harus mengetahui terlebih dahulu multiplisitas dari akar. untuk x dekat akar ganda, maka f(x) dan f (x)  0, akibatnya terjadi pembagian dua bilangan mendekati 0. Karena adanya kelemahan tersebut diatas, maka Ralston dan Rabinowitz mengusulkan alternatif lain, yaitu dengan mendefinisikan, (4.18)

Sustitusi persamaan (4.19) ke persamaan (4.12) didapat u(x) dan f (x) mempunyai akar yang sama, karena dari persamaan (4.18) jika f (x) = 0, maka u(x) juga = 0, sehingga, (4.19) Sustitusi persamaan (4.19) ke persamaan (4.12) didapat (4.20) Dari persamaan (4.18) didapat (4.21)

Dari persamaan (4.18) dan (4.21) ke (4.20) didapat (4.22) Persamaan (4.21) adalah persamaan Newton-Raphson yang dimodifikasi.

Conton 4.8 Tentukan solusi hampiran akar dari fungsi f (x) = x3 – 5x2 +7x – 3 dengan metode Newton-Raphson yang dimodifikasi. Gunakan tebakan awal x0 = 0 dan s = 0,000005 Penyelesaian f (x ) = x3 – 5x2 +7x – 3 = 3x2 – 10x +7 f (x) = 3x2 –10x +7 f (x) = 6x –10

i xr f(x) f '(x) f ''(x) rh -3 7 -10 - 1 1.105 -0.0209943 -0.387812 -3 7 -10 - 1 1.105 -0.0209943 -0.387812 -3.368421 1.96875 2 1.003 -1.896E-05 -0.012298 -3.98151 0.153984 3 1.000 -1.134E-11 -9.53E-06 -3.999986 0.0046189 4 -1.49E-10 -4 3.572E-06

4.3 Sistem Persamaan Non-Linier Metode penyelesian sistem persamaan non-linier terdiri dari metode iterasi Titik Tetap dan metode Newton-Raphson. Bentuk umum sistem persamaan non-linier adalah sebagai berikut. (4.23) Solusi sistem persamaan menghasilkan nilai x1, x2, …, xn yang memenuhi seluruh persamaan.

Metode Iterasi Titik Tetap Prosedur iterasi titik tetap untuk sistem persamaan linier yang terdiri dari, misalnya, 3 persamaan adalah Metode iterasi titik tetap seperti pada persamaan (4.24) disebut metode Jacobi. Untuk meningkatkan kecepatan konvergensi, maka nilai hampiran variabel yang didapat langsung digunakan untuk mentukan nilai hampiran variabel selanjutnya. (4.24)

Sehingga persamaan (4.24) menjadi (4.25) Metode iterasi titik tetap seperti pada persamaan (4.24) disebut metode Seidel. Syarat konvergensi sistem persaman non-linier 3 variabel adalah

Conton 4.9 Selesaikan sistem persamaan non-linier berikut dengan metode iterasi Seidel. f1(x, y ) = x2 – xy – 10 = 0 f2(x, y ) = y + 3xy2 – 57 = 0 Gunakan s = 0,000005 dan tebakan awal x0 = 1dan y0 = 4 Penyelesaian Prosedur iterasi titik tetap

r xr yr |rhx| |rhy| 1 4 2.25 -51 0.55555556 1.0784314 2 -0.09681 812.4375 24.2405063 1.0627741 3 0.012297 -24293.28 8.87288929 1.0334429 -0.00041 728844.389 30.8741472 1.0333312 5 1.37E-05 -21865274 31.0014395 1.0333334 6 -4.6E-07 655958286 30.9999208 1.0333333 7 1.52E-08 -1.968E+10 31.0000026 Iterasi divergen

Prosedur iterasi titik tetap lainnya

r xr yr |rhx| |rhy| 1 4 - 2.44949 2.68558866 0.59175171 0.4894314 2 1.849778 3.12850694 0.32420752 0.141575 3 2.052549 2.95782257 0.09878989 0.0577061 ⋮ 11 2.00001 2.99999204 1.9139E-05 1.042E-05 12 1.999997 3.00000272 6.5424E-06 3.561E-06 13 2.000001 2.99999907 2.2364E-06 1.217E-06 Iterasi konvergen

Latihan Selesaikan sistem persamaan non-linier berikut dengan metode iterasi Seidel. f1(x, y ) = x + x2y – 3 = 0 f2(x, y ) = y2 + xy – 5 = 0 Gunakan s = 0,000005 dan tebakan awal x0 = 2dan y0 = 1

b) Metode Newton Raphson Misal sistem persamaan non-linier terdiri dari dua pers. Prosedur iterasi Newton-Raphson menggunakan persamaan, (4.26) (4.27)

Contoh 4.10 Selesaikan sistem persamaan non-linier berikut dengan metode iterasi Newton-Raphson. f1(x, y ) = u = x2 + xy – 10 = 0 f2(x, y ) = v = y + 3xy2 – 57 = 0 Gunakan s = 0,000005 dan tebakan awal x0 = 1dan y0 = 4 Penyelesaian u0 = x02 + x0y0 – 10 = 12 + (1)(4) – 10 = –5 v0 = y0 + 3x0y02 – 57 = 4 + (3)(1)(42) – 57 = –5

Dari persamaan (4.26) = 2,176471 Dari persamaan (4.27) = 1,6960784

r xr yr |rhx| |rhy| 1 4 2.176471 1.6960784 0.540541 1.358382 2 1.820924 3.4062873 0.195256 0.502074 3 1.996841 2.9898841 0.088097 0.139271 1.999996 3.0000352 0.001578 0.003384 5 2.03E-06 1.17E-05 6 3.51E-11 6.09E-11

Latihan Selesaikan sistem persamaan non-linier berikut dengan metode iterasi Newton-Raphson. f1(x, y ) = x + x2y – 3 = 0 f2(x, y ) = y2 + xy – 5 = 0 Gunakan s = 0,000005 dan tebakan awal x0 = 2dan y0 = 1