GEOMETRI DALAM BIDANG Pertemuan 16

ELIPS dan HIPERBOLA adalah konik yang memenuhi persamaan : | PF | = e | PL | Baik elips maupun hiperbola mempunyai dua puncak yang terletak pada sumbu utama. Titik tengah dari kedua puncak disebut pusat konik. Elips dan hiperbola disebut konik terpusat.

Pusat di titik asal : O ( 0 , 0 ) Sumbu utama : Sumbu X Fokus : F1 ( c , 0) dan F2 (- c , 0) Garis arah : x1 = k dan x2 = - k Puncak : A1 (a , 0) dan A2 ( - a , 0 ) Titik pada kurva : P ( x , y )

Y X O F1(+c,0) P(x,y) F2(-c,0) Garis arah x2 = - k x1 = + k L(+k,y) A1 L(x,y)

Dari kedua persamaan di atas, diperoleh : | PF | = e | PL | P = A1 a - c = e ( k - a ) = e k - e a P = A2 a + c = e ( k + a )= ek + e a Dari kedua persamaan di atas, diperoleh : c = a . e k = a / e

Titik pada kurva : P ( x , y ) Fokus :F1 ( c,0 ) = F1 ( ae,0 ) Proyeksi P pada garis arah: L1 ( k,y ) = L1 ( a/e,y ) | PF | = e | PL |

Setelah disederhanakan, diperoleh : Dalam persamaan di atas terdapat hanya suku-suku x dan y yang genap pangkatnya, artinya elips dan hiperbola letaknya simetris terhadap sumbu X, sumbu Y dan titik asal O. Karena kesimetrisan ini, maka harus ada fokus dan garis arah kedua.

Garis arah : x1 = + k = + a / e x2 = - k = - a / e Fokus : F1 ( +c , 0 ) = F1 ( +a e , 0 ) F2 ( - c , 0 ) = F2 ( - a e , 0 ) Garis arah : x1 = + k = + a / e x2 = - k = - a / e Puncak : A1 ( +a , 0 ) A2 ( - a , 0 )

Persamaan Baku Elips Nilai eksentrisitas untuk elips : 0 < e < 1 1 - e 2 > 0 Persamaan yang diperoleh di atas :

Jika kita misalkan : Persamaan baku elips mendatar (sumbu utama pada sumbu X) dengan pusat di titik asal O (0,0), puncak di titik A (±a,0) dan fokus di titik F (±c,0) adalah :

Bilangan 2a : garis tengah panjang. Bilangan 2b : garis tengah pendek. b2 = a2( 1 - e2 ) = a2 - a2 e2 = a2 - c2 ( karena c = a e ) a2 = b2 + c2 (hubungan Pythagoras )

X Y O F1 (+ae,0) P (x,y) F2 (-ae,0) Garis arah x2 = - a/e x1 = + a/e

sama dengan a, artinya elips menjadi lingkaran Pengaruh Perubahan Nilai e pada Elips Jika e mendekati 1 (eksentrisitas besar), maka kecil dibandingkan dengan a, artinya elips bentuknya tipis dan memanjang. Jika e mendekati 0 (eksentrisitas kecil), maka mendekati a, artinya elips bentuknya tebal dan hampir mendekati lingkaran. Jika e sama dengan 0 (eksentrisitas nol), maka sama dengan a, artinya elips menjadi lingkaran

Persamaan lingkaran dengan pusat di titik O (0,0) dan jari-jari a : x2 + y2 = a2

Pengaruh Pertukaran Nilai x dan y pada Elips Jika nilai x dan y dipertukarkan, maka persamaan di atas menjadi : Persamaan ini merupakan persamaan elips tegak (sumbu utama pada sumbu Y) dengan puncak berada di titik A (0, ±a).dan fokus di titik F (0, ±c).

Persamaan Baku Hiperbola Nilai eksentrisitas untuk hiperbola : e > 1 e2 - 1 > 0 Persamaan yang diperoleh di atas :

Jika kita misalkan : Persamaan baku hiperbola mendatar (sumbu utama pada sumbu X) dengan puncak di titik A (±a,0), dan fokus di titik F (±c,0) adalah :

c2 = a2 + b2 ( hubungan Pythagoras ) b2 = a2 ( e2 - 1 ) = a2 e2 - a2 = c2 - a2 ( karena c = ae ) c2 = a2 + b2 ( hubungan Pythagoras ) Y Y Y P (x,y) P (x,y) P (x,y) X X X F2 (-ae,0) F2 (-ae,0) F2 (-ae,0) O O O F1 (+ae,0) F1 (+ae,0) F1 (+ae,0) Garis arah x1 = - a/e Garis arah x1 = - a/e Garis arah x1 = - a/e Garis arah x2 = + a/e Garis arah x2 = + a/e Garis arah x2 = + a/e

Penafsiran Nilai b pada Hiperbola Persamaan di atas : atau

Jika nilai x besar, maka nilai hampir sama dengan nilai x, sehingga merupakan persamaan garis asimptot dari hiperbola.

Pengaruh Pertukaran Nilai x dan y pada Hiperbola Jika nilai x dan y dipertukarkan, maka persamaan di atas menjadi :

Persamaan ini merupakan persamaan hiperbola tegak (sumbu utama pada sumbu Y) dengan puncak berada di titik A (0, ±a).dan fokus di titik F (0, ±c).