Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s Transformasi Laplace

Pengantar Kita telah melihat bahwa analisis di kawasan fasor lebih sederhana dibandingkan dengan analisis di kawasan waktu karena tidak melibatkan persamaan diferensial melainkan persamaan-persamaan aljabar biasa. Akan tetapi analisis tersebut terbatas hanya untuk sinyal sinus dalam keadaan mantap. Berikut ini kita akan mempelajari analisis rangkaian di kawasan s, yang dapat kita terapkan pada rangkaian dengan sinyal sinus maupun bukan sinus, keadaan mantap maupun keadaan peralihan.

Tujuan: memahami transformasi Laplace beserta sifat-sifatnya; mampu melakukan transformasi berbagai bentuk gelombang sinyal dari kawasan t ke kawasan s. mampu mencari transformasi balik dari pernyataan bentuk gelombang sinyal dari kawasan s ke kawasan t. Tujuan:

Cakupan Bahasan Transformasi Laplace. Tabel Transformasi Laplace. Sifat-Sifat Transformasi Laplace. Transformasi Balik. Diagram Pole-Zero.

Transformasi Laplace Dalam pelajaran Analisis Rangkaian di kawasan fasor, kita melakukan transformasi fungsi sinus (fungsi t) ke dalam bentuk fasor melalui relasi Euler. Dalam pelajaran Analisis di Kawasan s, kita akan melakukan transformasi pernyataan fungsi dari kawasan t ke kawasan s melalui Transformasi Laplace, yang secara matematis didefinisikan sebagai suatu integral Fungsi waktu peubah kompleks: s =  + j Batas bawah integrasi adalah nol yang berarti bahwa kita hanya meninjau sinyal-sinyal kausal

Kita lihat sekarang Transformasi Laplace Sebelum membahas Taransformasi Laplace lebih lanjut, kita akan mencoba memahami proses apa yang terjadi dalam transformasi ini. Kita lihat bentuk yang ada di dalam tanda integral, yaitu Fungsi waktu Eksponensial kompleks Meredam f(t) jika  > 0 bentuk sinusoidal Jadi perkalian f(t) dengan faktor eksponensial kompleks menjadikan f(t) berbentuk sinusoidal teredam. Sehingga integral dari 0 sampai  mempunyai nilai limit, dan bukan bernilai tak hingga. Kita lihat sekarang Transformasi Laplace

(1) anak tangga, (2) eksponensial, dan (3) sinusoidal Bentuk gelombang sinyal yang kita hadapi dalam rangkaian listrik tersusun dari tiga bentuk gelombang dasar yaitu: (1) anak tangga, (2) eksponensial, dan (3) sinusoidal (1) (2) Jadi semua bentuk gelombang yang kita temui dalam rangkaian listrik, setelah dikalikan dengan est dan kemudian diintegrasi dari 0 sampai  akan kita peroleh F(s) yang memiliki nilai limit. (3) sinus teredam Setelah menjadi sinus teredam, diintegrasi dari 0 sampai  dan didapat F(s)

Posisi pole diberi tanda X Contoh: Jika f(t) adalah fungsi tetapan f(t) = Au(t) Dalam contoh fungsi anak tangga ini, walaupun integrasi memiliki nilai limit, namun teramati bahwa ada nilai s yang memberikan nilai khusus pada F(s) yaitu s = 0 yang disebut pole. s adalah besaran kompleks. Posisi pole di bidang kompleks dalam contoh ini dapat kita gambarkan sebagai berikut. Re Im X f(t) Au(t) t Posisi pole diberi tanda X

Contoh: f(t) = Aetu(t) Jika f(t) adalah fungsi exponensial Ae-at u(t) Untuk s = , nilai F(s) menjadi tak tentu. Nilai s ini disebut pole Re Im X Penggambaran pada bidang kompleks: Posisi Pole diberi tanda X

Contoh: Jika f(t) adalah fungsi cosinus f(t) = Acost u(t) relasi Euler: t f(t) Acost u(t) Untuk s = 0, nilai F(s) menjadi nol. Nilai s ini disebut zero Re Im X O Untuk s2 = 2, atau nilai F(s) menjadi tak tentu. Nilai s ini merupakan pole Penggambaran pada bidang kompleks Zero diberi tanda O Pole diberi tanda X

Salah satu sifat Transformasi Laplace yang sangat penting adalah Sifat Unik Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut: Jika f(t) mempunyai transformasi Laplace F(s) maka transformasi balik dari F(s) adalah f(t). Sifat ini memudahkan kita untuk mencari F(s) dari suatu fungsi f(t) dan sebaliknya mencari fungsi f(t) dari dari suatu fungsi F(s) dengan menggunakan tabel transformasi Lapalace. Mencari fungsi f(t) dari suatu fungsi F(s) disebut mencari transformasi balik dari F(s). Tabel berikut ini memuat pasangan fungsi f(t) dan fungsi F(s). Walaupun hanya memuat beberapa pasangan, namun untuk keperluan kita tabel ini sudah dianggap cukup.

Tabel Transformasi Laplace ramp teredam : [ t eat ] u(t) ramp : [ t ] u(t) sinus tergeser : [sin (t + )] u(t) cosinus tergeser : [cos (t + )] u(t) sinus teredam : [eatsin t] u(t) cosinus teredam : [eatcos t] u(t) sinus : [sin t] u(t) cosinus : [cos t] u(t) eksponensial : [eat]u(t) anak tangga : u(t) 1 impuls : (t) Pernyataan Sinyal di Kawasan s L[f(t)] = F(s) Pernyataan Sinyal di Kawasan t f(t)

Sifat-Sifat Transformasi Laplace

Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut: Sifat Unik Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut: Jika f(t) mempunyai transformasi Laplace F(s) maka transformasi balik dari F(s) adalah f(t). Dengan kata lain Jika pernyataan di kawasan s suatu bentuk gelombang v(t) adalah V(s), maka pernyataan di kawasan t suatu bentuk gelombang V(s) adalah v(t).

Sifat Linier Karena transformasi Laplace adalah sebuah integral, maka ia bersifat linier. Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi masing-masing fungsi. Bukti: Jika maka transformasi Laplace-nya adalah dengan F1(s) dan F2(s) adalah transformasi Laplace dari f1(t) dan f2(t).

Integrasi Jika , maka transformasi Laplacenya adalah Bukti: Misalkan bernilai nol untuk t =  karena est = 0 pada t , bernilai nol untuk t = 0 karena integral yang di dalam tanda kurung akan bernilai nol (intervalnya nol).

maka transformasi Laplacenya adalah Diferensiasi Jika maka transformasi Laplacenya adalah Bukti: Misalkan maka bernilai nol untuk t =  karena est = 0 untuk t  bernilai f(0) untuk t = 0.

Translasi di Kawasan t Translasi di Kawasan s Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s), maka transformasi Laplace dari f(ta)u(ta) untuk a > 0 adalah easF(s). Translasi di Kawasan s Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , maka transformasi Laplace dari etf(t) adalah F(s + ).

Pen-skalaan (scaling) Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , maka untuk a > 0 transformasi dari f(at) adalah Nilai Awal dan Nilai Akhir

Tabel Sifat-Sifat Transformasi Laplace konvolusi : nilai akhir : nilai awal : penskalaan : translasi di s : translasi di t: A1F1(s) + A2 F2(s) linier : A1 f1(t) + A2 f2(t) diferensiasi : integrasi : linier : A1 f1(t) + A2 f2(t) Pernyataan F(s) =L[f(t)] Pernyataan f(t)

Mencari Transformasi Laplace dan Diagram pole – zero

Mencari Transformasi Laplace CONTOH: Carilah transformasi Laplace dari bentuk gelombang berikut: Penyelesaian: a) Dari tabel transformasi Laplace: f(t) = [cos t] u(t) b) Dari tabel transformasi Laplace: f(t) = [sin t] u(t) c) Dari tabel transformasi Laplace: f(t) = [eat]u(t)

Mencari Diagram pole-zero CONTOH: Gambarkan diagram pole-zero dari Re Im  1 a). Fungsi ini mempunyai pole di s = 1 tanpa zero tertentu. b). Fungsi ini mempunyai zero di s = 2 Sedangkan pole dapat dicari dari Re Im +j1,8 2 j1,8 Re Im c). Fungsi ini tidak mempunyai zero tertentu sedangkan pole terletak di titik asal, s = 0 + j0.

Mencari Transformasi Balik

Transformasi Balik Transformasi balik adalah mencari f(t) dari suatu F(s) yang diketahui. Jika F(s) yang ingin dicari transformasi baliknya ada dalam tabel transformasi Laplace yang kita punyai, pekerjaan kita cukup mudah. Akan tetapi pada umumnya F(s) berupa rasio polinomial yang bentuknya tidak sesederhana dan tidak selalu ada pasangannya seperti dalam tabel. Untuk mengatasi hal itu, F(s) kita uraikan menjadi suatu penjumlahan dari bentuk-bentuk yang ada dalam tabel, sehingga kita akan memperoleh f(t) sebagai jumlah dari transformasi balik setiap uraian. Hal ini dimungkinkan oleh sifat linier dari transformasi Laplace

Bentuk Umum F(s) Bentuk umum fungsi s adalah Dalam bentuk umum ini jumlah pole lebih besar dari jumlah zero, Jadi indeks n > m Jika F(s) memiliki pole yang semuanya berbeda, pi  pj untuk i  j , dikatakan bahwa F(s) mempunyai pole sederhana. Jika ada pole yang berupa bilangan kompleks kita katakan bahwa F(s) mempunyai pole kompleks. Jika ada pole-pole yang bernilai sama kita katakan bahwa F(s) mempunyai pole ganda.

Fungsi Dengan Pole Sederhana Apabila F(s) hanya mempunyai pole sederhana, maka ia dapat diuraikan sebagai berikut F(s) merupakan kombinasi linier dari beberapa fungsi sederhana. k1, k2,…..kn di sebut residu. Jika semua residu dapat ditentukan, maka Bagaimana cara menentukan residu ?

Cara menentukan residu: Jika kita kalikan kedua ruas dengan (s  p1), faktor (s p1) hilang dari ruas kiri, dan ruas kanan menjadi k1 ditambah suku-suku lain yang semuanya mengandung faktor (s p1). Jika kemudian kita substitusikan s = p1 maka semua suku di ruas kanan bernilai nol kecuali k1 Dengan demikian kita peroleh k1 k2 diperoleh dengan mengakalikan kedua ruas dengan (s  p2) kemudian substitusikan s = p2 , dst.

CONTOH: Carilah f(t) dari fungsi transformasi berikut.

CONTOH: Carilah f(t) dari fungsi transformasi berikut.

CONTOH: Carilah f(t) dari fungsi transformasi berikut. masukkan s = 0 masukkan s = 1 masukkan s = 4

Oleh karena itu uraian F(s) harus mengandung dua suku yang berbentuk Fungsi Dengan Pole Kompleks Dalam formulasi gejala fisika, fungsi F(s) merupakan rasio polinomial dengan koefisien riil. Jika F(s) mempunyai pole kompleks yang berbentuk p =  + j, maka ia juga harus mempunyai pole lain yang berbentuk p* =   j; sebab jika tidak maka koefisien polinomial tersebut tidak akan riil. Jadi untuk sinyal yang secara fisik kita temui, pole kompleks dari F(s) haruslah terjadi secara berpasangan konjugat. Oleh karena itu uraian F(s) harus mengandung dua suku yang berbentuk Residu k dan k* juga merupakan residu konjugat sebab F(s) adalah fungsi rasional dengan koefisien rasional. Residu ini dapat kita cari dengan cara yang sama seperti mencari residu pada uraian fungsi dengan pole sederhana.

Transformasi balik dari dua suku dengan pole kompleks adalah

Memberikan pole sederhana di s = 0 CONTOH: Carilah transformasi balik dari Memberikan pole sederhana di s = 0 memberi pole kompleks

Fungsi Dengan Pole Ganda Pada kondisi tertentu, F(s) dapat mempunyai pole ganda. Penguraian F(s) yang demikian ini dilakukan dengan “memecah” faktor yang mengandung pole ganda dengan tujuan untuk mendapatkan bentuk fungsi dengan pole sederhana yang dapat diuraikan seperti contoh sebelumnya. pole ganda pole sederhana

CONTOH: Tentukan transformasi balik dari fungsi:

Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan s Course Ware Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan s Transformasi Laplace Sudaryatno Sudirham