Kuswanto-2013 3. Ukuran Pemusatan Data

Segugus data Gugus data  Tidak ada informasi ??? Perlu ada karakteristik yang mencirikan gugus data tsb Ukuran pemusatan – sebuah nilai yang menggambarkan pusat dari gugus data ukuran keragaman (sebaran) : sebuah nilai yang menggam-barkan sebaran dari gugus data ??? ???

Perhatikan data ini  ukuran tidak sama

Perhatikan data ini ukuran tidak sama

Dari data tersebut Apabila frekuensi sebagai sumbu Y Dan nilai data sebagai sumbu X, frekuensi Nilai data, misal diameter tomat

Bila dibuat gambar distribusi Pusat (rerata) Kumpulan data yang menyebar di bawah pusat (rerata) Kumpulan data yang menyebar di atas pusat (rerata)

Dengan demikian Diperlukan karakteristik yang mencirikan sebuah gugus data Karakteristik yang mengukur pusat data Karekteristik yang mengukur sebaran data Karakteristik pada contoh disebut statistik, dan karakteristik populasi disebut parameter

Ukuran Pemusatan Data

3 .UKURAN PEMUSATAN Suatu gugus data kuantitatif perlu diselidiki agar dapat didefinisikan ukuran metrik yang menjelaskan cici-ciri data tersebut. Misalnya dicari nilai reratanya. Rerata (mean) merupakan ukuran pusat data yang diurutkan dari terkecil ke terbesar.

Ukuran pusat (pemusatan) yang lain adalah median dan modus. Misal : dari data sebanyak n observasi dapat ditulis : x1, x2, x3, x4, …, xn atau y1, y2, y3, y4, …, yn Dari observasi ini biasanya kita ingin menentukan wakil atau ukuran pemusatan dari data tersebut. Ukuran pemusatan mungkin sama atau tidak sama dengan salah satu x1,x2, …, xn.

3.1. Mean (rerata) Rerata dilambangkan dengan x (x bar = rerata contoh) didefinisikan sebagai x1 + x2 + … + xn n x = -------------------------- =  xi/n n i=1 Rerata contoh dilambangkan dengan x, sedang rerata populasi 

Perhatikan n n a. bXi = bx1 + bx2 +… + bxn = b(x1+x2+…+xn) = b  Xi i=1 i=1 n b.  a = a + a +…+ a = na i=1 n n n n c.  (xi - a)² =  (xi2 - 2axi + a2) =  xi2 - 2a xi + na² i=1 i =1 i =1 i=1 Khusus a = x, setelah diinsersikan ke dalam persamaan tersebut, maka nilainya akan =  xi2 - ( xi)2/n yang apabila dibagi n-1 dikenal ragam (varian)

Contoh  mean Data : x1=2, x2=1, x3=5, x4=4, x5=5, x6=2 2 + 1 + 5 + 4 + 5 + 2 Makax = ------------------------------ = 19/6 = 3 1/6 6 Bila digambarkan dengan diagram titik . : . : --------------------------------------- 1 2 3 4 5 6 7

Apabila disusun distribusi frekuensi No Angka (xi) Frekuensi (fi) 1 2 3 4 5 6 7 xi menyatakan nilai dari angka fi menyatakan frekuensi untuk nilai xi Misalnya : f1 = 1, f5 = 2

Penggunaan rerata Hati-hati dengan penggunaan statistik rerata. Contoh, apabila diketahui bahwa dari 50 bahan peledak dinamit akan meledak rata-rata 3 detik sejak pengaitnya dilepas. Bisa jadi satu atau beberapa dinamit akan meledak 1 detik sejak pengait dilepas. Apabila pada saat tersebut tidak segera dilemparkan dapat mencelakai si pelempar.

3.2. Modus Modus adalah data yang mempunyai frekuensi terbesar. Kumpulan data bisa mempunyai satu modus, dua atau beberapa modus atau bahkan tidak mempunyai modus. Untuk contoh data diatas Xi : 2, 1, 5, 4, 5, 2  mempunyai dua modus, yaitu 2 dan 5 Kerjakan contoh lain

Contoh modus Dalam bentuk kalimat, contoh modus adalah “penyebab menurunnya hasil panen adalah curah hujan tinggi”. Curah hujan tinggi tersebut merupakan modus penyebab turunnya hasil panen.

3.3. Median Median dari sekumpulan data adalah data yang ditengah, bila jumlah data ganjil, atau mean dari dua data yang ditengah, bila jumlah data genap, data data telah diurutkan dari terkecil sampai terbesar. Misal : untuk contoh data diatas Xi : 2, 1, 5, 4, 5, 2. Untuk mencari median data harus diurutkan dari terkecil ke terbesar menjadi Xi : 1, 2, 2, 4, 5, 5 Maka mediannya adalah (2+4)/2 = 3.

Penggunaan rerata, modus, median Hati-hati menggunakan rerata, modus dan median Tidak semua data dapat digunakan rerata, modus atau median. Untuk tujuan tertentu mungkin hanya diperlukan median bukan rerata. Lihat contoh soal.

3.4. Kuartil, Desil, Persentil Jika segugus data dibagi menjadi 4 bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut kuartil. Jika dibagi menjadi 10 bagian yang sama, maka didapat 9 pembagi dan tiap pembagi disebut desil. Jika dibagi menjadi 100 bagian yang sama akan menghasilkan 99 pembagi yang dinamakan persentil.

Latihan dan diskusi Calculate the mean and median for each of the following data sets : i. 4, 7, 3, 6, 5, 4, 5, 7, 9 ii. 24, 28, 36, 30, 24, 29, 30, 32, 31 iii. -2, 1, -1, 0, 3, -2, 1, 1, 2, 2, 3 iv. Find data of plant number in your faculty! Mengapa rata-rata lebih stabil daripada median? Dalam sebuah contoh terdapat hasil pengamatan yang bernilai nol. Statistik mana saja yang dapat dihitung? Mengapa? Dalam jangka waktu 4 bulan, harga apel menjadi dua kali lipat. Berapa persen rata-rata kenaikan harga tiap bulan?

5. Bagaimana hubungan antara rata-rata, median dan modus 5. Bagaimana hubungan antara rata-rata, median dan modus. Kapankah tanda sama akan berlaku? 6. The monthly income in thousand rupiahs for seven administrative staff members of a faculty in a University are 950, 775, 925, 2500, 1150, 850, 975, 2000, 1800, 1900, 1750 and 2100 From this : Calculate the mean and median salary! and Which of the two is preferable as a measure of center, and why? Express your reasons!

Seed Company Mean salary 5.000 4.000 Median salary 3.500 4.500 7. Given here are the mean and median salaries (thousand by month) of machinists employed by two competing companies, Longseed Co and Smallseed Co. Assume that the salaries are set in accordance with job competence, and that the overall quality of worker is about the same in the two companies. Which company offers a better prospect to a machinist having superior ability? Explain your answer. Where can a medium quality machinist expect to earn more? Explain your answer. Seed Company Longseed Co.Ltd Smallseed Co. Ltd Mean salary 5.000 4.000 Median salary 3.500 4.500

8. These problems are properties on the mean and median. If a fixed number c is added to all measurements in a data set, then the mean of the new meausurements is (c + the original mean). Take the sample of data! If all measurements in a data set are multiplied by a fixed number d then the mean of the new meausurements is d x (the original mean). Verify this property for sampel of data set. These properties also hold for median. Verify these for the data set and the numbers c and d.

Terima kasih