Pewarnaan graph Pertemuan 20: (Off Class) Mata kuliah :K0144/ Matematika Diskrit Tahun :2008 Pewarnaan graph Pertemuan 20: (Off Class) Bina Nusantara

Learning Outcomes Mahasiswa dapat meyimpulkan arti dari pewarnaan graph dan contoh tentang penyelesaian sesuatu masalah dengan menggunakan warnaan graph.. Bina Nusantara

Outline Materi: Arti pewarnaan graph Jenis pewarnaan graph Pewarnaan titik, rusuk & daerah Bilangan kromatik Aplikasi pewarnaan graph.. Bina Nusantara

Graph Coloring Problem Graph coloring is an assignment of "colors", almost always taken to be consecutive integers starting from 1 without loss of generality, to certain objects in a graph. Such objects can be vertices, edges, faces, or a mixture of the above. Application examples: scheduling, register allocation in a microprocessor, frequency assignment in mobile radios, and pattern matching Bina Nusantara

Vertex Coloring Problem Assignment of colors to the vertices of the graph such that proper coloring takes place (no two adjacent vertices are assigned the same color) Chromatic number: least number of colors needed to color the graph A graph that can be assigned a (proper) k-coloring is k-colorable, and it is k-chromatic if its chromatic number is exactly k. Bina Nusantara

Vertex Coloring Problem The problem of finding a minimum coloring of a graph is NP-Hard The corresponding decision problem (Is there a coloring which uses at most k colors?) is NP-complete The chromatic number for Cn = 3 (n is odd) or 2 (n is even), Kn = n, Km,n = 2 Cn: cycle with n vertices; Kn: fully connected graph with n vertices; Km,n: complete bipartite graph C4 C5 K4 K2, 3 Bina Nusantara

Vertex Covering Problem The Four color theorem: the chromatic number of a planar graph is no greater than 4 Example: G1 chromatic number = 3, G2 chromatic number = 4 (Most proofs rely on case by case analysis). G1 G2 Bina Nusantara

Edge Coloring Pewarnaan rusuk yaitu : mewarnai rusuk-rusuk suatu graph, sedemikian hingga rusuk-rusuk yang insiden warna berlainan dan banyak warna minimum. Contoh : Bina Nusantara

Edge Coloring Problem (2) Pewarnaan rusuk untuk graph lengkap (Kn). Bina Nusantara

Pewarnaan Daerah : Pewarnaan daerah dilakukan dengan terlebih dahulu membentuk graph tersebut menjadi graph planar kemudian melakukan pewarnaan untuk tiap daerah yang berbeda pada daerah yang berdekatan. Jumlah warna diambil yang paling minimum. Contoh : Lakukan pewarnaan graph secara daerah untuk kasus gambar graph sebelumnya. Bina Nusantara

BILANGAN KROMATIK Bilangan kromatik dari G adalah jumlah warna minimum yang diperlukan untuk mewarnai graph G, dilambangkan dgn (G) { adalah huruf Yunani chi } Berapa bilangan kromatik dari graph lengkap K6, K10 dan Kn ? (Kn) = n Bina Nusantara

ALGORITMA WELCH-POWELL Algoritma Welch-Powell adalah sebuah cara efisien untuk mewarnai sebuah graph G Algoritma Welch-Powell : Urutkan simpul-simpul G dalam derajat yang menurun. Urutan ini mungkin tidak unik karena bbrp simpul mempunyai derajat sama Gunakan satu warna untuk mewarnai simpul pertama dan untuk mewarnai, dalam urutan yang berurut setiap simpul dari daftar yang tidak berelasi dengan simpul sebelumnya. Mulai lagi dengan dengan daftar paling tinggi dan ulangi proses pewarnaan simpul yang tidak berwarna sebelumnya dengan menggunakan warna kedua. Terus ulangi dengan penambahan warna sampai semua simpul telah diwarnai Bina Nusantara

Contoh Graph H Jadi χ(H) = 4 Simpul V1 V4 V5 V6 V2 V3 V7 Derajat 5 4 3 Warna a b c d V7 V6 V5 V4 V3 V2 V1 Jadi χ(H) = 4 Bina Nusantara

Contoh Jadi χ(G) = 3 Graph G Simpul V1 V6 V2 V3 V4 V5 Derajat 4 3 Warna a b c V6 V5 V4 V2 V3 V1 Jadi χ(G) = 3 Bina Nusantara

Contoh Jadi χ(H)= 2 Graph H Simpul V1 V2 V3 V4 V5 V6 Derajat 3 Warna a b V6 V5 V4 V3 V2 V1 Jadi χ(H)= 2 Bina Nusantara

Contoh Jadi χ(G) = 3 Graph G Simpul V1 V5 V2 V6 V3 V4 Derajat 4 3 2 Warna a b c V6 V4 V2 V3 V5 V1 Jadi χ(G) = 3 Bina Nusantara

Contoh Jadi χ(H) = 3 Graph H Simpul H A D F B C E G Derajat 5 4 3 2 Warna a b c H G F E D C B A Jadi χ(H) = 3 Bina Nusantara

Contoh Adakah graph dengan 1 warna???? Bina Nusantara

Informasi/ Penutup Untuk menambah materi yang telah ada, Anda dapat melihat materi lain yang ada pada alam web berikut ini, dan klik http://www.math.getech.edu/~thomas/FC/fourcolor.html Bina Nusantara

Terima kasih Semoga berhasil Bina Nusantara