SYSTEMATIC RANDOM SAMPLING PERTEMUAN 9 SYSTEMATIC RANDOM SAMPLING Oleh: J. Purwanto Ruslam SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK

JENIS-JENIS POPULASI Populasi dengan susunan acak Populasi terurut Populasi dengan variasi periodik

POPULASI DENGAN SUSUNAN ACAK Jika unit-unit sampling di dalam populasi tersusun secara acak, unit-unit sampling di dalam sampel juga akan tersusun secara acak. Oleh karena itu, sampel sistematik bisa diperlakukan seolah-olah adalah sampel acak. Sampel yang tersusun secara acak ini akan menjadi heterogen dan akan memiliki 𝜌 yang kecil maka 𝑣( 𝑦 𝑠𝑦 ) kurang lebih akan sama dengan 𝑣( 𝑦 𝑠𝑟𝑠 ) . Misal, sampling dari sebuah file yang disusun secara alfabetik menurut nama. Jika item yang diukur tidak memiliki hubungan dengan nama individu, kita bisa mengharapkan systematic sampling benar-benar equivalent dengan SRS dan memiliki varians yang hampir sama.

POPULASI TERURUT Dalam sebuah populasi terurut, pemilihan sampel sistematik akan memberikan sampel yang heterogen dan 𝑣( 𝑦 𝑠𝑦 ) biasanya akan lebih kecil daripada 𝑣( 𝑦 𝑠𝑟𝑠 ). Contoh: menduga produksi jagung dari populasi petani dengan luas lahan. Petani diurutkan terlebih dahulu menurut luas lahan, kemudian dipilih sampel secara sistematik. Sampel yang terpilih akan heterogen dan menghindari kesempatan memilih sampel yang mengandung terlalu banyak petani besar/kecil sehingga lebih mewakili populasi daripada ketika masih tersusun secara acak.

Pembuktian (untuk populasi terurut yang mengikuti trend linear): Untuk penarikan sampel sistematis, rata-rata sampel kedua melebihi sampel pertama sebesar 1, rata-rata sampel ketiga melebihi sampel kedua sebesar 1, dan seterusnya. Jadi rata-rata dapat diganti dengan angka 1,2,…k. Dengan demikian:

POPULASI DENGAN VARIASI PERIODIK Jika populasi mengandung trend periodik (misalkan kurva sinus), keefektifan sampel sistematik tergantung pada nilai interval. Contoh populasi hipotetik: 1,2,3,4,5| 1,2,3,4,5| 1,2,3,4,5 Jika diambil 3 sampel dan dengan random start 2 dan k=5, maka sampel sistematiknya: (2,2,2)homogen, 𝜌 besar Contoh praktis: Penjualan tinggihari Jumat dan Sabtu Penjualan rendahhari Senin dan Selasa Sampel-sampel bisa dipilih dengan mengubah posisi unit-unit sampling setiap waktu.

Paired Selection Model (PSM) Mengelompokkan N unit populasi ke dalam 𝑛 2 kelompok. Masing-masing kelompok terdiri dari 2𝑘 unit. Melakukan penarikan sampel 2 unit dari tiap kelompok dengan prosedur: Hitung interval 𝑘 ′ =2𝑘= 2𝑁 𝑛 Ambil dua angka random ( 𝐴𝑅 1 dan 𝐴𝑅 2 ) yang kurang dari atau sama dengan 𝑘 ′ untuk menentukan dua unit yang terpilih sebagai sampel pertama Sampel selanjutnya ditentukan dengan interval 𝑘 ′ 𝐴𝑅 3 = 𝐴𝑅 1 +2𝑘 𝐴𝑅 4 = 𝐴𝑅 2 +2𝑘 𝐴𝑅 5 = 𝐴𝑅 3 +2𝑘 𝐴𝑅 6 = 𝐴𝑅 4 +2𝑘 𝐴𝑅 7 = 𝐴𝑅 5 +2𝑘 𝐴𝑅 8 = 𝐴𝑅 6 +2𝑘 …

Paired Selection Model (PSM) Penghitungan varians: 1 2 3 4 5 6 … n-1 n a. Jika n genap 𝑣 𝑦 = 1−𝑓 𝑛 2 𝑖=1 𝑛/2 𝑦 2𝑖 − 𝑦 2𝑖−1 2 b. Jika n ganjil Pilih satu unit secara acak dan menggunakannya dua kali. 𝑣 𝑦 = 1−𝑓 𝑛(2𝑚) 𝑖=1 𝑛/2 𝑦 2𝑖 − 𝑦 2𝑖−1 2 Keterangan: 𝑚= 𝑛+1 2 𝑦 2 − 𝑦 1 2 𝑦 4 − 𝑦 3 2 𝑦 6 − 𝑦 5 2 𝑦 𝑛 − 𝑦 𝑛−1 2

Succesive Difference Model (SDM) Pengembangan dari Paired Selection Model Penghitungan varians: 1 2 3 4 5 6 … n-1 n 𝑣 𝑦 = 1−𝑓 2𝑛(𝑛−1) 𝑖=1 𝑛−1 𝑦 𝑖+1 − 𝑦 𝑖 2 𝑦 2 − 𝑦 1 2 𝑦 4 − 𝑦 3 2 𝑦 6 − 𝑦 5 2 𝑦 𝑛 − 𝑦 𝑛−1 2 𝑦 3 − 𝑦 2 2 𝑦 5 − 𝑦 4 2

Stratified Systematic Sampling Populasi terlebih dahulu dikelompokkan menjadi beberapa strata, kemudian dari masing-masing strata dilakukan penarikan sampel secara sistematik. Jika 𝑦 𝑠𝑦ℎ adalah rata-rata dari sampel sistematik di strata ke-h, estimasi rata-rata populasi beserta variansnya adalah: 𝑦 𝑠𝑡𝑠𝑦 = ℎ=1 𝐿 𝑊 ℎ 𝑦 𝑠𝑦ℎ 𝑉 𝑦 𝑠𝑡𝑠𝑦 = ℎ=1 𝐿 𝑊 ℎ 2 𝑣 𝑦 𝑠𝑦ℎ

Perbandingan Systematic dan SRS (1) Varians Systematic: 𝑉 𝑦 𝑠𝑦 = 1 𝑘 𝑖=1 𝑘 𝑦 𝑖 − 𝑌 2 = 1 𝑘 𝑖=1 𝑘 1 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 2 = 1 𝑛 2 𝑘 𝑖=1 𝑘 𝑗=1 𝑛 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 2 = 1 𝑛 2 𝑘 𝑖=1 𝑘 𝑗=1 𝑛 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 2 +2 𝑖=1 𝑘 𝑗< 𝑗 ′ 𝑛 𝑦 𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦 𝑖 𝑗 ′ − 𝑌 = 1 𝑛 2 𝑘 𝑛𝑘−1 𝑆 2 +𝜌 𝑛𝑘−1 𝑛−1 𝑆 2 = (𝑛𝑘−1) 𝑆 2 𝑛 2 𝑘 1+ 𝑛−1 𝜌 = 𝑆 2 𝑛 𝑁−1 𝑁 1+(𝑛−1)𝜌

Perbandingan Systematic dan SRS (2) 𝑣 𝑦 𝑠𝑟𝑠 = 𝑆 2 𝑛 𝑁−𝑛 𝑁 𝑣 𝑦 𝑠𝑦𝑠 = 𝑆 2 𝑛 𝑁−1 𝑁 1+(𝑛−1)𝜌 Relative Eficiency Systematic terhadap SRS: 𝑅𝐸= 𝑣( 𝑦 𝑠𝑦𝑠 ) 𝑣( 𝑦 𝑠𝑟𝑠 ) = (𝑁−1) 1+(𝑛−1)𝜌 𝑛(𝑘−1) Agar systematic sampling memiliki presisi yang sama dengan SRS, maka: (𝑁−1) 1+(𝑛−1)𝜌 𝑛(𝑘−1) =1 𝜌= −1 𝑛𝑘−1 = −1 𝑁−1

Perbandingan Systematic dan SRS (3) Karena N biasanya besar, 𝜌 seharusnya kecil agar systematic sampling memiliki presisi yang sama dengan SRS. Nilai 𝜌 akan kecil jika unit-unit sampling dalam populasi didistribusikan secara random, sehingga 𝑣 𝑦 𝑠𝑟𝑠 bisa digunakan untuk systematic sampling

Kesimpulan Keuntungan Penarikan sampel lebih mudah dan cepat Dengan pengurutan tertentu, sampel akan lebih representatif Dengan pengurutan yang tepat, presisi lebih tinggi daripada simple random sampling Kelemahan Pengurutan unit-unit yang kurang tepat akan memperbesar varians Tidak cocok diterapkan untuk populasi dengan variasi periodik Penduga varians yang unbiased sulit diperoleh dari sampel sistematik tunggal.

TERIMA KASIH Have A Nice Sampling