Cayley’s Spanning Tree Formula TEORI GRAF Nama Kelompok : Angga Ari Wijaya (102410101070) Margareta Ester P. (102410101072) Angga Riswanda (102410101073)

Cayley (1821 –1895) Sejumlah masalah yang berhubungan dengan graf yang ditemukan manusia dalam kehidupan nyata menimbulkan penemuan konsep-konsep pemecahan masalah graf. Konsep pohon pernah diterapkan pada tahun 1870-an oleh Matematikawan Inggris yang bernama Arthur Cayley dalam penghitungan molekul kimia. Karya yang lebih baru membuktikan bahwa pohon digunakan di banyak bidang, mulai dari linguistik sampai komputer. Pohon adalah suatu graf terhubung yang tidak memuat sirkuit. Tree dinotasikan dengan T.

POHON (TREE) Spanning tree dari sebuah graf G adalah sebuah subgraf dari G yang merupakan sebuah pohon dan memuat semua titik dari G. Pohon (Tree) didefinisikan sebagai graph terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Sebuah graf G dengan n verteks dikatakan sebuah tree jika : G terhubung dan tak memuat sirkuit,atau G terhubung dan memiliki n – 1 edge,atau G tak memuat sirkuit dan memiliki n – 1 edge,atau Terdapat tepat satu path diantara setiap pasangan verteks-verteks di G,atau G setidaknya merupakan sebuah graf terhubung.

G1 dan G2 adalah pohon, sedangkan G3 dan G4 bukan pohon POHON (TREE) Pohon (Tree) didefinisikan sebagai graph terhubung yang tidak mengandung sirkuit dengan n verteks dan memiliki n – 1 edge . G1 G2 G3 G4 G1 dan G2 adalah pohon, sedangkan G3 dan G4 bukan pohon

Cayley’s Formula Theorem Spanning Tree diperoleh dengan cara menghilangkan sirkuit di dalam graf tersebut Spanning tree dari sebuah graf G dapat dihitung menggunakan teorema : Theorem jumlah spanning trees pada Kn adalah s(Kn) = nn-2

Cayley’s Formula Theorem Contoh : Graf G s(Kn) = nn-2 S(K4) = 44-2 = 16 tree

Spanning Tree dari graf G

Barisan Spanning Tree K7 Akan ditemukan satu persatu koresponden antara Spanning Tree Kn dan barisan dari panjang n-2 yang elemennya adalah 1,2,3, … , n sehingga kita dapat menggambarkan setiap pohon dengan barisan dimana tidak ada 2 pohon yang digambarkan dengan barisan yang sama. Sebagai contoh untuk n = 7 7 2 4 3 6 1 5 (3, 3, 4, 4, 4)

Barisan spanning tree Barisan Spanning tree dapat memperlihatkan hubungan antar vertex yang dapat dibentuk dari bagian spanning tree pada sebuh graf Degree dari vertex 3 pada pohon T adalah 3 dan jumlah 3 muncul dua kali dalam barisan. Degree vertex 4 adalah 4 dan 4 muncul tiga kali pada barisan. Sehingga dapat dilihat bahwa bila sebuah vertex X mempunyai degree Y dalam tree maka jumlah X akan muncul Y - 1 pada barisan. Jika kita telah mempunyai barisan spanning tree maka cara membuat graf Tree sebagai berikut: X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Barisan spanning tree X X X X X X X X X X { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ( 3, 3, 4, 4, 4) 1 2 3 4 5 6 7

More Spanning Trees Theorem Ada rumus untuk jumlah spanning tree pada complete bipartite graph Km,n yaitu : S(Km,n) = mn-1nm-1 Theorem Jumlah Spanning Tree pada K2,n adalah n2n-1 b a x

Contoh : K2,2 b b b b a a a a y x y x y x y x

More Spanning Trees Theorem Theorem Jumlah Spanning Tree pada K3,n adalah n 2 3 n-1 c c b b a a x x z

Contoh : K3,2 a b c x y a b c x y x a b y c x a b y c x a b y c a b c

Trims. ^_^