Modul Matematika Diskrit Pertemuan Ke-5 FUNGSI Pertemuan Ke-5 Jurusan Teknik Informatika - FTIF ITS

Tujuan Instruksional Khusus Memahami konsep fungsi pada himpunan Memahami macam-macam fungsi Memahami tentang invers dan komposisi fungsi

f Definisi: f : A  B b a v x t A B A dan B adalah himpunan. Fungsi f memasangkan tepat satu nilai di B kepada setiap elemen A. Notasinya f(a) = b, di mana b adalah nilai unique (satu-satunya) yang dipasangkan kepada a a x b v t f A B A disebut domain B disebut codomain {b,t} disebut range

Syarat Fungsi f : A  B Pada A : Pada B : Tiap elemen pada A harus ada pasangan di B Tidak boleh ada cabang Pada B : Elemen pada B boleh tidak ada pasangan Boleh ada cabang

Contoh F={(1,u),(2,v),(3,w)} Dari A={1,2,3} dan B={u,v,w}

Contoh F={(1,u),(2,v),(3,w)} Dari A={1,2,3,4} dan B={u,v,w}  f bukan fungsi, karena ada elemen pada A yang tidak ada pasangannya

Contoh F={(1,u), (1,v)(2,v),(3,w)} Dari A={1,2,3} dan B={u,v,w}  f bukan fungsi, karena ada elemen pada A yang bercabang

Contoh F={(1,u),(2,u),(3,v)} Dari A={1,2,3} dan B={u,v,w}  f adalah fungsi

Terminologi: f: A  B Fungsi f memetakan (maps) A ke B A = domain dari fungsi f, B = codomain dari fungsi f f(a) = b, b disebut image (bayangan) dari a, a disebut pre-image dari b Himpunan bagian dari B yang berisi semua bayangan disebut range dari fungsi f

Contoh Fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = x2 A = Z = { … -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } = domain B = Z = codomain, { 0, 1, 2, 3, … } = range Fungsi f adalah fungsi floor A = R = { bilangan nyata } = domain B = Z = { bilangan bulat } = codomain, range

Contoh Mencari Range Let us take a look at the function f:PC with P = {Linda, Max, Kathy, Peter} C = {Boston, New York, Hong Kong, Moscow} f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = New York Here, the range of f is C.

Contoh mencari range Let us re-specify f as follows: f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = Boston Is f still a function? yes {Moscow, Boston, Hong Kong} What is its range?

Cara menggambarkan fungsi Other ways to represent f: x f(x) Linda Moscow Max Boston Kathy Hong Kong Peter Linda Max Kathy Peter Boston New York Hong Kong Moscow

Definisi f1 : A  R, f2 : A  R (f1 + f2) (x) = f1(x) + f2(x) S = himpunan bagian dari A f(S) = { f(s) | s  S }

Contoh Contoh 2: Contoh 1: f1 : R  R; f2 : R  R f1(x) = x2; f2(x) = x - x2 (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) = (x2) + (x - x2) = x (f1f2)(x) = f1(x)f2(x) = (x2)(x - x2) = x3 - x4 Contoh 2: A = { a, b, c, d, e }; S = { b, c, d } B = { 1, 2, 3, 4} f(a) = 2, f(b) = 1, f(c) = 4, f(d) = 1, f(e) =1 f(S) = { 1, 4 }

Contoh Let us look at the following well-known function: f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = Boston What is the image of S = {Linda, Max} ? f(S) = {Moscow, Boston} What is the image of S = {Max, Peter} ? f(S) = {Boston}

Jenis fungsi: f: A  B One-to-one, injective Adalah element pada A mempunyai 1 pasangan pada B f fungsi injective  x y [ f(x) = f(y)  x = y ] Universe (x) = universe (y) = domain (f) = A Contoh: Tentukan fungsi f dari {a,b,c,d} ke {1,2,3,4} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)= 1, dan f(d)=3 adalah fungsi one-to-one ? a 1 b c d 4 3 2 5

Jenis fungsi: f: A  B Onto, surjective Adalah semua element pada B ada pasangannya, tidak masalah jika ada cabang pada B f fungsi surjective  y x [ f(x) = y ] Universe (x) = domain = A; universe (y) = codomain (f) = B a 1 b c d 3 2

Jenis fungsi: f: A  B One-to-one correspondence, bijective Adalah jika fungsi tersebut mempunyai sifat : One to one dan surjektive f fungsi bijective jika f injective dan surjective a 1 b c d 4 3 2

Contoh Linda Max Kathy Peter Boston New York Hong Kong Moscow Is f injective? No. Is f surjective? Is f bijective? Linda Max Kathy Peter Boston New York Hong Kong Moscow

Contoh Linda Max Kathy Peter Boston New York Hong Kong Moscow Paul Is f injective? No. Is f surjective? Yes. Is f bijective? Paul

Contoh Linda Max Kathy Peter Boston New York Hong Kong Moscow Lübeck Is f injective? Yes. Is f surjective? No. Is f bijective?

Contoh Linda Max Kathy Peter Boston New York Hong Kong Moscow Lübeck Is f injective? No! f is not even a function!

Contoh Linda Boston Max New York Kathy Hong Kong Peter Moscow Helena Is f injective? Yes. Is f surjective? Is f bijective? Max New York Kathy Hong Kong Peter Moscow Helena Lübeck

Jenis fungsi: f: A  B Strictly increasing Strictly decreasing x y [ ( x  y )  ( f(x)  f(y) ) ] Universe (x) = universe (y) = domain (f) = A Strictly decreasing x y [ ( x  y )  ( f(x)  f(y) ) ] Fungsi identitas f : A  A f(x) = x

Fungsi invers f –1: B  A di mana f –1(b) = a f : A  B di mana f(a) = b f –1: B  A di mana f –1(b) = a Catatan: f dan f –1 harus bijective

Inversion Linda Boston f Max New York f-1 Kathy Hong Kong Peter Moscow Helena Lübeck

Inversion The inverse function f-1 is given by: Example: f-1(Moscow) = Linda f-1(Boston) = Max f-1(Hong Kong) = Kathy f-1(Lübeck) = Peter f-1(New York) = Helena Inversion is only possible for bijections (= invertible functions) Example: f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = Lübeck f(Helena) = New York Clearly, f is bijective.

Contoh F={(1,u),(2,v),(3,w)} maka F-1 = {(u,1), (v,2), (w,3)} Dari A={1,2,3} dan B={u,v,w}

Inversion Linda Boston f Max New York f-1 f-1:CP is no function, because it is not defined for all elements of C and assigns two images to the pre-image New York. Kathy Hong Kong Peter Moscow Helena Lübeck

Komposisi dua fungsi f dan g f  g a g(a) (f  g) (a) = f(g(a)) f(g(a)) Catatan: fungsi yang paling kanan dioperasikan paling awal, selanjutnya fungsi di samping kirinya, demikian seterusnya.

Function Partial Function Total Function x a f(a) =b u f(u) = v f(x) undefined x a f(a) =b Total Function u f(u) = v

Tugas