Materi Pokok 04 PENDUGAAN TITIK Konsep Dasar pendugaan titik Tujuan pendugaan titik adalah menghitung berdasarkan contoh (sample). Satu nilai tunggal yang merupakan penerka terbaik dari nilai sesungguhnya parameter yang sedang diselidiki. Parameter yang sering menarik untuk diselidiki adalah: Nilai tengah populasi tunggal , Median populasi Proporsi populasi tunggal p, Ragam (varians) 2 atau simpangan baku populasi , Beda dua nilai tengah populasi berbeda 1 - 2, Beda dua proporsi p1-p2 dari dua populasi berbeda. Notasi sering digunakan untuk melambangkan parameter secara umum, sehingga mungkin mewakili atau atau p1 – p2 dst.
Definisi 4.1 Suatu penduga titik terhadap parameter merupakan nilai tunggal, yang dihitung dari contoh (sample), yang digunakan sebagai terkaan nilai yang sesungguhnya. Parameter dan Pendugaannya Parameter = , penduga = = , nilai tengah contoh. Parameter = , penduga = = , median contoh. Parameter p, penduga = = x/n , proporsi sukses dalam contoh (sample). Parameter = 2, penduga = = S2, ragam (varians) contoh (sample); parameter , penduga = S, simpangan baku contoh. Parameter = 1 - 2, penduga = beda antara dua nilai tengah contoh dari dua contoh acak bebas X1, …, Xn dan Y1, …, Yn. Parameter = p1 – p2, penduga = beda antara proporsi sukses, dengan X dan Y adalah banyaknya sukses contoh acak bebas berukuran m dan n.
Contoh 4.1. Ambil contoh acak X1, X2, …, X10 yang melambangkan jangka hidup dan diasumsikan contoh acak berasal dari populasi yang menyebar secara normal dengan parameter dan . Bila hasil pengamatan jangka hidup seperti berikut: Perhatikan penduga-penduga berikut sebagai hasil pendugaan terhadap : Penduga = , dugaan = Xi/10 = 28,50. Penduga = , dugaan = (28,0 + 28,4)/2 = 28,20
Penduga = [min (Xi) + max (Xi)]/2 = rataan dari dua jangka hidup ekstrim, dugaan [min (Xi) + max (Xi)]/2 = (23,0 + 35,1)/2 = 29,05 Penduga nilai tengah hasil pangkasan 10% (10 persen dari masing-masing nilai terbesar dan terkecil dikeluarkan, kemudian baru dicari nilai tengahnya). Mana hasil pendugaan yang paling dekat dengan nilai sesungguhnya?
Contoh 4.2 Suatu perusahaan produsen ingin mengembangkan tipe bumper baru yang lebih tahan terhadap kerusakan karena benturan. Perusahaan mencoba tingkat ketahanan bumper tersebut dengan membenturkan sebanyak 25 kali. Bila X = banyaknya benturan yang tidak menimbulkan goresan. Hasil pengamatan x = 15 maka penduga Contoh 4.3 Suatu perusahaan cat sedang memperhatikan tentang variabilitas waktu pengeringan cat yang dihasilkannya. Ambil X sebagai waktu pengeringan contoh cat yang dicobakan pada papan percobaan dan 2 = var(X) = varians populasi untuk semua waktu pengeringan. Jika ada n papan percobaan dengan waktu pengeringan X1, X2, …, Xn maka penduga 2 adalah varians contoh.
Misalkan data itu n = 10, dan kita gunakan 1, maka: Suatu alternatif penduga varians adalah mengganti n – 1 dengan n sehingga:
Penduga Tak Bias Definisi 4.2. Suatu penduga titik dikatakan sebagai penduga tidak bias terhadap jika untuk semua nilai . Jika = penduga yang bias terhadap adalah
Suatu penduga adalah tidak bias jika pusat sebarannya mempunyai pusat yang sama dengan nilai parameter yang diduga = . Grafik 4.1. Grafik fungsi kepekatan penduga tidak bias dan penduga bias
Prinsip Pemilihan Penduga. Pilih penduga yang tidak bias bila akan memilih beberapa penduga terhadap parameter = Bila proporsi contoh X/n digunakan sebagai penduga p dimana X adalah banyaknya contoh terpilih yang sukses, mempunyai sebaran binomial dengan parameter n dan p, maka: Bila X adalah contoh acak yang menyebar secara binomial dengan parameter n dan p, maka proporsi contoh merupakan penduga tidak bias terhadap p. Bila X1, X2, …, Xn merupakan contoh acak dari sebaran dengan nilai tengah dan ragam (varians) 2 maka penduga merupakan penduga tidak bias terhadap 2.
Bila X1, X2, …, Xn merupakan contoh acak dari suatu sebaran dengan nilai tengah maka merupakan penduga tidak bias terhadap . Bila sebarannya kontinu dan simetri maka = median dan nilai tengah pangkasan merupakan penduga tidak bias terhadap .