Linear Programming (Pemrograman Linier) Program Studi Statistika Semester Ganjil 2011/2012 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Metode Dual Simplex Dapat dimanfaatkan untuk 1. Menentukan solusi optimal baru setelah menambah kendala baru pada LP 2. Menentukan solusi optimal baru setelah perubahan rhs dari LP 3. Mencari solusi masalah minimize (yang normal)

Metode Dual Simplex pada kasus Maksimisasi Kriteria optimal bukan lagi pada baris nol Kriteria optimal berdasarkan rhs Baris pivot ditentukan dulu, baru ditentukan kolom pivot

Langkah-langkah: 1. Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua? ◦ Ya: solusi sudah diperoleh ◦ Tidak: lanjutkan langkah berikutnya 2. Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot) yang harus meninggalkan BV. Pilih kolom pivot, sebagai pemenang ratio test dari setiap peubah dengan koefisien negatif pada baris pivot Ratio test= Koefisien baris nol/Koefisien baris pivot ◦ Pemenangnya adalah ratio terkecil: BV yang baru ◦ Lakukan ERO 1. Selesai jika rhs setiap kendala>=0. ◦ Jika rhs ada yang =0: tidak ada solusi feasibel ◦ Selainnya kembali ke langkah 1.

Menentukan solusi optimal baru setelah menambah kendala baru pada LP Terdapat tiga kemungkinan: 1.Solusi optimal yang ada memenuhi kendala baru 2.Solusi optimal yang ada tidak memenuhi kendala baru, tapi LP tetap mempunyai solusi feasibel 3.Tambahan kendala menyebabkan LP tidak mempunyai solusi feasibel

Pada Permasalahan Dakota Misalkan dipunyai kendala baru dalam bentuk sbb: Solusi optimal masih memenuhi kendala tsb: Kasus 1

Misalkan pihak pemasaran menentukan bahwa paling sedikit 1 meja harus diproduksi. Maka akan ada kendala baru sbb: Dari solusi yang ada x 2 =0 Tidak memenuhi kendala baru Solusi tidak lagi feasibel dan tidak optimal Digunakan metode dual simpleks, berdasarkan tableau paling akhir + kendala baru Kasus 2

Tableau 2zx1x2x3s1s2s3e4rhsBV Baris z=280 Baris s1=24 Baris x3=8 Baris x1=2 Baris e4=-1 Kendala baru dalam bentuk standar: Untuk memperoleh bentuk kanonik pada peubah excess:

Langkah-langkah dual simplex pada kasus ini 1. Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua? ◦ Tidak: lanjutkan langkah berikutnya Tableau 2zx1x2x3s1s2s3e4rhsBV Baris z=280 Baris s1=24 Baris x3=8 Baris x1=2 Baris e4=-1 2.Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot). Pilih kolom pivot: pemenang ratio test dari setiap peubah dengan koefisien negatif pada baris pivot Baris e4=-1 Lakukan ERO: x 2 menggantikan e 2 x

Tableau 2zx1x2x3s1s2s3e4rhsBV Baris z=280 Baris s1=24 Baris x3=8 Baris x1=2 Baris e4=-1 Tableau 3zx1x2x3s1s2s3e4rhs Baris Dengan ERO ingin diperoleh Tableau 3: baris 4 didahulukan (pivot row)

Tableau 2zx1x2x3s1s2s3e4rhsBV Baris z=280 Baris s1=24 Baris x3=8 Baris x1=2 Baris e4=-1 Tableau 3zx1x2x3s1s2s3e4rhs Baris Dengan ERO ingin diperoleh baris 0 di tableau 3: dengan memanfaatkan baris 4 di tableu 3 (pivot row) Baris

Tableau 2zx1x2x3s1s2s3e4rhsBV Baris z=280 Baris s1=24 Baris x3=8 Baris x1=2 Baris e4=-1 Tableau 3zx1x2x3s1s2s3e4rhs Baris Dengan ERO ingin diperoleh baris 1 di tableau 3: dengan memanfaatkan baris 4 di tableu 3 (pivot row) Baris Baris

Tableau 2zx1x2x3s1s2s3e4rhsBV Baris z=280 Baris s1=24 Baris x3=8 Baris x1=2 Baris e4=-1 Tableau 3zx1x2x3s1s2s3e4rhs Baris Dengan ERO ingin diperoleh baris 2 di tableau 3: dengan memanfaatkan baris 4 di tableu 3 (pivot row) Baris Baris Baris

Tableau 2zx1x2x3s1s2s3e4rhsBV Baris z=280 Baris s1=24 Baris x3=8 Baris x1=2 Baris e4=-1 Tableau 3zx1x2x3s1s2s3e4rhs Baris Dengan ERO ingin diperoleh baris 3 di tableau 3: dengan memanfaatkan baris 4 di tableu 3 (pivot row) Baris Baris Baris Baris BV z=275 s1=26 x3=10 x1=0.75 x2=1

Dengan tambahan batasan bahwa paling sedikit 1 meja harus diproduksi Solusi optimal berubah menjadi: Meja diproduksi 1 buah, dengan konsekuensi mengurangi produksi bangku dan menambah produksi kursi Bangku dari 2 buah menjadi 0.75 buah (non integer di luar topik ini!) Kursi dari 8 buah menjadi 10 buah Keuntungan menjadi lebih tinggi Solusi optimal awal: Memproduksi 2 bangku, dan 8 kursi tanpa memproduksi meja dengan profit 280

Misalkan pihak manajemen memberi syarat bahwa jumlah produksi bangku dan meja paling sedikit 12 buah: Kasus 3 Solusi optimal awal: Memproduksi 2 bangku, dan 8 kursi tanpa memproduksi meja Tidak memenuhi syarat tersebut Solusi optimal awal tidak memenuhi syarat sehingga harus dilakukan tambahan iterasi dengan mentode dual simplex

Tambahan kendala baru dalam bentuk standar: Tableau 2zx1x2x3s1s2s3e4rhsBV Baris z=280 Baris s1=24 Baris x3=8 Baris x1=2 Baris e4=-12 Baris e4=-12 Karena X 1 BV, kolom bagi X 1 harus disesuaikan menjadi bentuk kanonik di baris 3 Dengan cara melakukan ERO untuk baris 4

Baris e4=-10 Tableau 2zx1x2x3s1s2s3e4rhsBV Baris z=280 Baris s1=24 Baris x3=8 Baris x1=2 Baris e4=-12 Tableau 2’zx1x2x3s1s2s3e4rhsBV Baris z=280 Baris s1=24 Baris x3=8 Baris x1=2

1. Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua? ◦ Tidak: lanjutkan langkah berikutnya 2.Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot): Baris 4 Pilih kolom pivot: pemenang ratio test dari setiap peubah dengan koefisien negatif pada baris pivot Tableau 2’zx1x2x3s1s2s3e4rhsBV Baris z=280 Baris s1=24 Baris x3=8 Baris x1=2 Baris e4=-10 Baris e4=-10 Tidak perlu ratio test karena: Hanya s 2, yang mempunyai koefisien (-) pada baris pivot. s s 2 menggantikan e 4

Tableau 2’zx1x2x3s1s2s3e4rhsBV Baris z=280 Baris s1=24 Baris x3=8 Baris x1=2 Baris e4=-10 Dengan ERO diperoleh Tableau 3 Tableau 3zx1x2x3s1s2s3e4rhsBV Baris z=80 Baris s1=-16 Baris x3=-32 Baris x1=2 Baris s2=20

Tableau 3zx1x2x3s1s2s3e4rhsBV Baris z=80 Baris s1=-16 Baris x3=-32 Baris x1=2 Baris s2=20 1. Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua? ◦ Tidak: lanjutkan langkah berikutnya 2.Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot): Baris 2 Pilih kolom pivot: pemenang ratio test dari setiap peubah dengan koefisien negatif pada baris pivot Tidak perlu ratio test karena: Hanya x 2, yang mempunyai koefisien (-) pada baris pivot. Baris x3=-32 x 2 menggantikan x 3 x

Tableau 3zx1x2x3s1s2s3e4rhsBV Baris z=80 Baris s1=-16 Baris x3=-32 Baris x1=2 Baris s2=20 Dengan ERO diperoleh Tableau 4 Tableau 4zx1x2x3s1s2s3e4rhsBV Baris z=-240 Baris s1=16 Baris x2=32 Baris x1=-20 Baris s2=36

Tableau 4zx1x2x3s1s2s3e4rhsBV Baris z=-240 Baris s1=16 Baris x2=32 Baris x1=-20 Baris s2=36 1. Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua? ◦ Tidak: lanjutkan langkah berikutnya 2.Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot): Baris 3 Pilih kolom pivot: pemenang ratio test dari setiap peubah dengan koefisien negatif pada baris pivot Baris x1=-20 Tidak ada peubah dengan koefisien negatif pada baris 3 Indikator bahwa tidak ada solusi feasibel bagi LP setelah tambahan kendala baru. Nilai Z yang (-) juga sebagai indikator infeasibilitas