Logika Matematika Tabel Kebenaran dan Proposisi Majemuk AMIK-STMIK Jayanusa ©2009 Tabel Kebenaran

Tabel Kebenaran Logika tidak mempermasalahkan pengertian bahasa sehari-hari (meaning), karena logika lebih mementingkan bentuk dari pernyataan-pernyataan. Perangkai logika atau operator dalam bentuk simbol dipergunakan untuk membuat bentuk-bentuk logika atau ekspresi logika. Beberapa perangkai logika dan simbolnya: Perangkai Simbol Dan (and) Atau (or) Tidak/bukan (not) Jika … maka … (if…the…/implies) → Jika dan hanya jika (if and only if) ↔ Tabel Kebenaran

Tabel Kebenaran 3.1 Konjungsi ( ) Konjungsi adalah kata lain dari perangkai “dan (and)”, dengan Tabel Kebenaran seperti berikut: A B disebut nilai fungsi kebenaran dari A dan B, yang nilainya tergantung dari nilai kebenaran A dan B. Tabel kebenaran menunjukan bagaimana cara memperlakukan perangkai , sedangkan operand-operand dari konjungsi disebut konjung. Operand di sini sama artinya dengan variabel proposisional. A B A B F T Tabel Kebenaran

Tabel Kebenaran Contoh 3.1 Tabel kebenaran untuk nilai konjungsi yang lebih rumit: 3.2 Disjungsi ( ) Disjungsi adalah sama dengan perangkai “atau (or)”, dengan lambang . Tabel Kebenaran dari disjungsi adalah: A B C A B (A B) C B C A (B C) F T Tabel Kebenaran

Tabel Kebenaran Pada tabel kebenaran tentang disjungsi di sini, operand-operand dari disjungsi disebut disjung. 3.3 Negasi ( ) Negasi digunakan untuk menggantikan perangkai “tidak (not)”, Negasi berarti hanya kebalikan dari nilai variabel proposisional yang dinegasinya. Tabel kebenaran negasi sebagai berikut: A B A B F T A F T Tabel Kebenaran

Tabel Kebenaran Perangkai disebut unary atau monadic karena hanya dapat merangkai satu variabel proposisional. Contoh 3.2 Badu pandai atau Badu bodoh. Contoh tersebut diubah menjadi variabel proposisional sehingga akan menjadi: A = Badu pandai B = Badu bodoh Bentuk logikanya adalah (A B), tidak boleh ditafsirkan dan diganti menjadi variabel proposisional seperti berikut: A = Badu bodoh Atau disamakan menjadi (A A). Tabel Kebenaran

Tabel Kebenaran Pengubahan pernyataan di depan menjadi bentuk logika seperti di atas tentunya salah, walaupun arti dari kata “pandai” adalah”tidak bodoh”, tetapi itu penafsiran dalam bahasa sehari-hari. Jadi, pastikan pernyataan mengandung kata “tidak atau bukan” untuk dapat memberi tanda negasi. Perangkai , , dan disebut perangkai alamiah atau perangkai dasar karena semua perangkai dapat dijelaskan hanya dengan tiga perangkai tersebut. 3.4 Implikasi (→) Implikasi menggantikan perangkai “ jika… maka … (if … then )”. Implikasi yang memakai tanda → disebut implikasi material. Tabel kebenaran implikasi adalah: Tabel Kebenaran

Tabel Kebenaran 3.5 Ekuivalensi (↔) Ekuivalensi dengan simbol ↔ menggantikan perangkai “…jika dan hanya jika… (…if and only if…)”, yang dapat disingkat dengan iff. Tabel kebenaran ekuivalensi adalah: A B A → B F T A B A ↔ B F T Tabel Kebenaran

Tabel Kebenaran Perangkai ↔ disebut biconditional karena ia mengondisikan atau merangkaikan dua ekspresi logika. 3.5 Perangkai “Tidak dan (not and – nand)” (|) Tabel kebenaran dari operator nand adalah: 3.6 Perangkai “Tidak atau (not or– nor)” (↓) A B A | B F T A B A ↓ B F T Tabel Kebenaran

Tabel Kebenaran 3.7 Perangkai xor ( ) Perangkai “xor (exclusive or)” mempunyai tabel kebenaran sbb: Semua operator dapat digunakan bersama-sama pada suatu argumen atau ekspresi logika dengan membentuk susunan proposisi majemuk dari yang sederhana sampai dengan yang rumit. Tentunya dengan mengubah pernyataan-pernyataan pada argumen menjadi variabel proposisional, dan merangkaikannya dengan operator yang relevan, dan akhirnya membuktikan validitas dari argumen tersebut. A B A B F T Tabel Kebenaran

Proposisi Majemuk Definisi Proposisi atomik berisi satu variabel proposisional atau stu konstanta proposisional. Definisi Proposisi majemuk berisi minimum satu perangkai, dengan lebih dari satu varibael proposisional. Perangkai logika digunakan untuk mengombinasikan proposisi atomik menjadi proposisi majemuk. Untuk menghindari kesalahan tafsir maka proposisi majemuk yang akan dikerjakan lebih dahulu diberi tanda kurung sehingga proposisi-proposisi dengan perangkai-perangkai yang berada di dalam tanda kurung disebut fully parenthesized expression (fpe). Proposisi yang sangat rumit dapat dipecah menjadi subekspresi-subekspresi. Subekspresi dapat dipecah lagi menjadi subsubekspresi, dan seterusnya. Teknik ini dinamakan Parsing. Ekspresi Logika adalah proposisi-proposisi yang dibangun dengan variabel-variabel logika yang berasal dari pernyataan atau argumen. Setiap ekspresi logika dapat bersifat atomik atau majemuk tergantung dari variabel proposisional yang membentuknya bersama perangkai yang relevan. Tabel Kebenaran

Proposisi Majemuk Contoh 3.3 Jika Dewi rajin belajar, maka ia lulus ujian dan ia mendapat hadiah istimewa. Pernyataan di atas dapat diubah menjadi variabel proposisional: A = Dewi rajin belajar. B = Dewi lulus ujian. C = Dewi mendapat hadiah istimewa. Dalam bentuk ekspresi logika berubah menjadi Persoalannya adalah ada dua kemungkinan pengerjaan, yakni karena kedua kemungkinan tersebut dapat menghasilkan nilai kebenaran yang berbeda. Tabel Kebenaran

Proposisi Majemuk Ekspresi logika yang tepat untuk contoh ini adalah: Apa arti dari ekspresi logika berikut untuk contoh di atas: Skema merupakan satu cara untuk menyederhanakan suatu proposisi majemuk yang rumit dengan memberi huruf tertentu untuk menggantikan satu subekspresi ataupun subsubekspresi. Contoh 3.4 Perhatikan aturan berikut: (1) Semua ekspresi atomik adalah fpe. (2) Jika P adalah fpe, maka juga ( P) (3) Jika P dan Q adalah fpe, maka juga Tabel Kebenaran

Proposisi Majemuk (4) Tidak ada fpe lainnya. Ekspresi-ekspresi logika yang dijelaskan di atas disebut well-formed formulae (wff). Contoh 3.5 Perhatikan tanda kurung biasa yang benar dan lengkap pada contoh Bandingkan dengan Jika ada suatu ekspresi logika ( P) maka P disebut skop negasi (scope of negation) dengan perangkai disebut perangkai utama dari ( P). Oleh karena itu, (P → Q) dapat diuraikan seperti berikut: Tabel Kebenaran

Proposisi Majemuk (P → Q) skop kiri Perangkai utama Skop kanan Teknik memisah-misah kalimat dalam proposisi majemuk menjadi proposisi atomik disebut teknik Parsing, dan hasilnya dapat diwujudkan dalam bentuk Parse Tree (Gambar hal. 4-2 di papan tulis): Contoh 3.6 [1] Jika Dewi lulus sarjana Teknik Informatika, orangtuanya akan senang, dan dia dapat segera bekerja, tetapi jika dia tidak lulus, semua usahanya akan sia-sia. Tabel Kebenaran

Proposisi Majemuk Proposisi-proposisi yang membentuk pernyataan di atas adalah konjungsi (kata “tetapi” di tengah lebih sesuai bila diganti dengan “dan”) dengan skop kiri dan skop kanan sebagai berikut: [1.1] Jika Dewi lulus sarjana Teknik Informatika, orangtuanya akan senang, dan dia dapat segera bekerja. dengan [1.2] Jika dia tidak lulus, semua usahanya akan sia-sia. Kedua skop di atas masih berupa proposisi majemuk. Untuk kalimat pertama dengan skop kiri dan skop kanan, dapat dipecah lagi seperti berikut: [1.1.1] Jika Dewi lulus sarjana Teknik Informatika [1.1.2] Orangtuanya akan senang, dan dia dapat segera bekerja. Tabel Kebenaran

Proposisi Majemuk Kalimat terakhir ini juga masih berbentuk proposisi majemuk, sehingga skop kiri dan skop kanan dapat dipisah sebperti berikut: [1.1.2.1] Orangtuanya akan senang dengan [1.1.2.2] Dia dapat segera bekerja. Kalimat di atas sudah tidak dapat dipecah lagi. Jadi, kembali pada skop kiri dan skop kanan di permulaan (1.1) dan (1.2). Jika (1.1) sudah selesai dipecah maka tinggal (1.2) yang menjadi skop kri dan skop kanan seperti berikut: Tabel Kebenaran

Proposisi Majemuk [1.2.1] Dia tidak lulus dengan [1.2.2] Semua usahanya akan sia-sia. Untuk mengubah Parse Tree menjadi ekspresi logika yang berbentuk proposisi majemuk adalah dengan menjadi fpe berikut: A = Jika Dewi lulus sarjana Teknik Informatika B = Orangtua Dewi senang C = Dewi bekerja D = Usaha Dewi sia-sia. Selanjutnya, pernyataan di atas yang berupa proposisi majemuk dapat dibuat fpe sebagai berikut: Tabel Kebenaran

Proposisi Majemuk Pada ekspresi di atas, jika dianggap M, maka M adalah ekspresi majemuk, yang dirangkai dari subekspresi-subekspresi. Secara sederhana, jika M berbentuk (P Q), maka P dan Q masing-masing berupa subekspresi. Setiap subekspresi ini dinamakan immediate subexpressions dari M. P dan Q juga dapat berbentuk ekspresi majemuk yang mempunyai subekspresi yang sebenarnya juga subekspresi dari M. Lihat Contoh 3.6 tadi, maka: Tabel Kebenaran

Proposisi Majemuk M sebenarnya juga dapat dianggap subekspresi dari M sehingga disebut improper sbexpressions, sedangakan subekspresi lainnya disebut proper sbexpressions dari M. Literal adalah proposisi yang dapat berbentuk A atau A, dengan Aadalah variabel proposisional. Kedua ekspresi tersebut, yakni: A dan A disebut literal yang komplemen atau saling melengkapi. Bentuk (A B) bukan literal. Tabel Kebenaran

Aturan Pengurutan Aturan Pengurutan digunakan untuk memastikan proses pengerjaan subekspresi. Pada masalah perangkai, urutan atau hirarkinya berdasarkan hirarki tertinggi sebagai berikut Ada aturan tambahan, yaitu: Jika menjumpai lebih satu perangkai pada satu hirarki yang sama, maka akan dikerjakan mulain dari yang kiri. Hirarki ke Simbol Perangkai Nama Perangkai 1 Negasi 2 Konjungsi 3 Disjungsi 4 → Implikasi 5 ↔ Ekivalensi Tabel Kebenaran

Aturan Pengurutan Contoh 3.7 Perhatikan kembali Contoh 3.6: dapat lebih disederhanakan dengan mengurangi tanda kurung biasa menjadi: Tetapi, walaupun penyederhanaan di atas betul, sebaiknya tetap memakai bentuk Tabel Kebenaran

Aturan Pengurutan Tanda kurung yang terlalu banyak disebut redudansi jika ada tanda kurung yang sebenarnya tidak diperlukan, bahkan kadang-kadang membuat salah tafsir. Contoh 3.8 A → B → C Manakah yang harus dikerjakan terlebih dahulu? Aturan hirarki menyebutkan jika hirarkinya sama, maka dilaksanakan mulai dari yang kiri. Jadi, hars dibaca: (A → B) → C, bukan A → (B → C). Akan tetapi, jika ingin mengerjakan bagian kurung terlebih dahulu, berilah tanda kurung seperti ekspresi terakhir. Oleh karena itu, ekspresi majemuk yang berada pada tanda kurung terdalam akan dilaksanakan, atau diproses, lebih awal dari lainnya. Operator bynarydisebut left associative. Artinya operator di sebelah kiri akan didahulukan karena mempunyai hirarki yang lebih tinggi. Sebaliknya, akan disebut right associative jika operator sebelah kanan yang dikerjakan terlebih dahulu. Jika perangkainya sama, maka operasi yang dilakukan pertama adalah left associative. Tabel Kebenaran

Aturan Pengurutan A Tabel Kebenaran

Aturan Pengurutan A Tabel Kebenaran