GRAF

GRAF Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek dinyatakan sebagai noktah, bulatan atau titik. Sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis. Secara matematis graf didefinisikan sebagai berikut : Suatu graf G(V,E) adalah suatu pasangan himpunan V(v1,v2, …, vn) dan himpunan E(e1, e2, …, en) dimana : V : himpunan vertek dan digambarkan sebagai titik. E : himpunan sisi (edge) yang elemennya ei = (vj,vk) disebut sisi dan digambarkan sebagai garis. Dan dikatakan sisi ei bertumpu (incident) pada vj dan vk.

GRAF Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis : Graf Tidak Berarah (undirect graph) Suatu graf yang mana setiap sisinya tidak mempunyai arah, dengan kata lain sisi (vj,vk) = sisi (vk,vj). Contoh : A e5 G = (V,E) V = {A,B,C,D,E} E = (e1, e2, e3, e4, e5, e6,e7, e8, e9, e10) = {(B,C), (C,C), (B,B), (A,B), (A,A), (A,D), (D,E), (D,D), (B,E), (E,E)} e1 = (B,C) = (C,B) e4 = (A,B) = (B,A) e6 = (A,D) = (D,A) e7 = (D,E) = (E,D) e9 = (B,E) = (B,E) e4 e6 B e3 e8 D e9 e1 e7 C E e2 e10

GRAF Graf Berarah (direct graph) Suatu graf yang mana semua sisi pada graf tersebut mempunyai arah tertentu dengan kata lain sisi (vj,vk) ≠ sisi (vk,vj). Contoh : G = (V,E) V = {A,B,C,D,E} E = (e1, e2, e3, e4, e5, e6,e7, e8, e9, e10 , e11, e12) e1 = (A,B) ≠ (B,A) e2 = (A,C) ≠ (C,A) e3 = (A,D) e10 = (E,J) e4 = (A,E) e11 = (G,H) e5 = (C,F) e12 = (H,G) e6 = (D,G) e7 = (D,H) e8 = (E,H) e9 = (E,I) A e1 e4 e2 e3 E C D B e8 e5 e6 e10 e7 e9 e11 G e12 I J F H Sisi (A,B)  A dapat memerintah B Titik awal dari suatu sisi = initial vertek Titik ujung dari suatu sisi = terminal vertek

GRAF Beberapa istilah pada Graf : Loop Adjacent Suatu sisi yang incident ke / dari vertek yang sama. Contoh : e = (C,C) Adjacent Dua buah vertek didalam graf G dikatakan adjacent (bersisian) bila keduanya terhubung langsung oleh sebuah sisi. Contoh : e = (v1,v2)  v1 = adjacent ke v2 v2 = adjacent dari v1 In degree (derajat masuk) dari suatu vertek Banyaknya sisi yang menuju vertek tersebut. Out degree (derajat keluar) dari suatu vertek Banyaknya sisi yang incident dari vertek tersebut. Derajat Total = derajat Jumlah derajat masuk dan derajat keluar dari suatu vertek. Jumlah sisi yang incident pada vertek tersebut.

GRAF TEOREMA 1 : Jumlah derajat semua vertek dalam suatu graf sama dengan dua kali banyaknya sisi  ∑ d(vi) = 2n(E) TEOREMA 2 : Banyaknya vertek dengan derajat ganjil dalam suatu graf adalah genap. Sebuah vertek dikatakan terasing / terisolasi, jka tidak ada rusuk / sisi yang incident pada vertek tersebut atau vertek yang mempunyai derajat 0. Matrik Adjacent dari suatu graf G = (V,E) dengan V = {v1,v2, …, vn} adalah matrik yang berordo n dan mempunyai bentuk sebagai berikut : Dimana aij = 1 bila ada sisi e = (vi,vj) = 0 bila tidak ada sisi yang menghubungkan vertek vi dengan vj. A =

GRAF Contoh : Tidak Berarah Berarah v v v v v v V2 V1 V3 V1 V5 V3 V4 1 V1 V2 V3 V4 1

GRAF Jadi matrik adjacent pada graf tidak berarah adalah suatu matrik simetri. Jadi untuk graf berarah : din (vi) = jumlah unsur pada kolom ke-i dout (vi) = jumlah unsur pada baris ke-I Graf Isomorfik Dua buah graf G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara vertek G1 dengan vertek G2 dan antara sisi pada G1 dengan sisi pada G2. Contoh : V5 f6 V6 e2 f9 V1 f10 V2 V1 e9 e10 f2 V2 e6 f5 f7 V5 V6 e1 e5 e3 f1 f3 e7 V8 V8 f8 V7 V7 e8 e12 e11 f12 f11 e4 V3 V4 V3 V4 f4

GRAF G1 = (V1,E1) V1 = (V1, V2, V3, V4, V5, V6, V7, V8) e1 = (e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11, e12) G2 = (V2,E2) V2 = (U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8) e2 = (f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7, f8, f9, f10, f11, f12) V1 ↔ V2 V1 ↔ U1 V2 ↔ U2 V3 ↔ U3 V4 ↔ U4 V5 ↔ U5 V6 ↔ U6 V7 ↔ U7 V8 ↔ U8 E1 ↔ E2 e1 ↔ f1 e7 ↔ f7 e2 ↔ f2 e8 ↔ f8 e3 ↔ f3 e9 ↔ f9 e4 ↔ f4 e10 ↔ f10 e5 ↔ f5 e11 ↔ f11 e6 ↔ f6 e12 ↔ f12 Jadi G1 dan G2  Isomorfik

GRAF ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● G1 = (V1,E1) G2 = (V2,E2) U6 V6 f5 ● f1 ● f2 ● f3 ● f4 ● U1 U2 U3 U4 U5 G1 = (V1,E1) G2 = (V2,E2) V1 = (V1, V2, V3, V4, V5, V6) V2 = (U1, U2, U3, U4, U5, U6) e1 = (e1, e2, e3, e4, e5) e2 = (f1, f2, f3, f4, f5) V1 ↔ V2 E1 ↔ E2  Jadi G1 dan G2 tidak Isomorfik. V1 ↔ U1 e1 ↔ f1 V2 ↔ U2 e2 ↔ f2 V3 ↔ U3 e3 ↔ f3 V4 ↔ U4 e4 ↔ f4 V5 ↔ U5 e5 ↔ f5 V6 ↔ U6 e6 ↔ f6