SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bagian-1 Oleh: Fitria Khasanah, M.Pd Prodi Pendidikan Matematika FKIP-Universitas PGRI Yogyakarta 2010

SISTEM PERSAMAAN LINEAR Fungsi Linear : f(x) = ax + b Persamaan Linear • ax = b • a1x1 + a2x2 + … + anxn = b (1) ai dan b : konstanta xi : variabel tak diketahui Persamaan (1) terdiri dari 1 persamaan dan n variabel tak diketahui

SISTEM PERSAMAAN LINEAR Secara umum, sistem yang terdiri dari m persamaan linear dan n variabel tak diketahui, disebut dengan SISTEM PERSAMAAN LINEAR, mempunyai bentuk

Solusi sistem persamaan linear Contoh 1 x + 2y + 3z = 6 2x – 3y + 2z = 14 3x + y – z = -2 mempunyai solusi : x = 1, y = -2, z = 3

Solusi persamaan linear Contoh 2 x + 2y – 3z = -4 2x + y – 3z = 4  mempunyai solusi: x = r + 4 y = r – 4 z = r dengan r sebarang bil. Real.  Sistem mempunyai banyak solusi

Solusi persamaan linear Contoh 3 Sistem linier x + 2y = 10 2x – 2y = -4 3x + 5y = 26 mempunyai solusi : x = 2, y = 4 Bandingkan dengan sistem linier x + 2y = 10 2x – 2y = -4 3x + 5y = 56 mempunyai solusi : x = 2, y = 4, y = 10   solusi y = 4 dan y = 10  sistem tidak mempunyai solusi

Skema Sistem persamaan linear Sistem Persamaan Linier Non Homogen Homogen Tidak Mempunyai Pemecahan Mempunyai Pemecahan Selalu Ada Pemecahan Pemecahan Tunggal Pemecahan Tak-Hingga Pemecahan Trivial Pemecahan Non - Trivial

SOLUSI SPL MENGGUNAKAN MATRIKS SPL berbentuk : dapat dibawa ke persamaan : atau A X = B Sistem diatas disebut dengan sistem Persamaan Linier non homogen

Matriks eselon baris tereduksi Matriks Diperbesar Ax = b Matriks diperbesar (Augmented Matrices) SPL dibentuk Matriks eselon baris tereduksi diubah

Matriks eselon baris tereduksi METODE REDUKSI GAUSS-JORDAN Ax = b Matriks diperbesar (Augmented Matrices) SPL non homogen dibentuk Matriks eselon baris tereduksi diubah

Operasi baris elementer Operasi baris elementer adalah suatu operasi yang digunakan untuk menyelesaikan soal sistem persamaan linier. Operasi tersebut yaitu: - Mengalikan suatu baris dengan konstanta tidak nol - Menukar letak dari dua baris matriks - Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan atau pengurangan baris dengan k kali atau kelipatan baris yang lain.

Operasi baris elementer Diketahui sistem persamaan: 2x + 3y + 4z = 5 4x + 5y + z = 10 x + 2y + 7z = 12 Carilah solusinya! Penyelesaian

Operasi baris elementer = = ==> z =

Latihan Soal Carilah solusi dari SPL berikut : 1. x + 2y + 3z = 9 3x – z = 3 2. x + y + 2z – 5w = 3 2x + 5y – z – 9w = -3 2x + y – z + 3w = -11 x – 3y + 2z + 7w = -5 3. x + 2y + 3z + 4w = 5 x + 3y + 5z + 7w = 11 x – z – 2w = -6

Sistem Homogen Bentuk umum : Ax = 0 Solusi dari sistem homogen yg berbentuk : x1 = x2 = … = xn = 0 disebut dengan solusi trivial, jika tidak demikian disebut solusi non trivial

Soal Latihan 1. x + 2y + 3z = 0 2. x + y + z + w = 0 Carilah solusi dari SPL berikut : 1. x + 2y + 3z = 0 2. x + y + z + w = 0 -x + 3y + 2z = 0 x + w = 0 2x + y – 2z = 0 x + 2y + z = 0 Jika sistem homogen terdiri dari m persamaan dan n variabel tak diketahui, dengan m < n, maka solusinya selalu nontrivial. Jika sistem homogen mempuyai solusi trivial, maka pastilah m > n.