IDEAL, RING KUOSIEN INTEGRAL DOMAIN & SUB INTEGRAL DOMAIN

TUJUAN Mahasiswa akan dapat memberikan contoh ideal, ring kuosien, integral domain dan sub integral domain

Cakupan Ideal Ring Kuosien Integral Domain Sub Integral Domain

Beberapa Definisi Kernel dari homomorfisma f:RR’ adalah himpunan elemen-elemen R yang dipetakan ke 0’R’. (R,+,) ring, (I,+) subgrup dari (R,+). I=ideal dari R jika dan hanya jika arI dan raI, aI dan rR. Ideal tak sejati adalah R dan {0}; lainnya adalah ideal sejati. Ring yang tdk mempunyai ideal sejati disebut ring sederhana.

Contoh: (Z,+,) adalah ring. P={kx, xz, k=bil.bulat} adalah ideal. R=himp matriks 2x2 bilangan riil dengan operasi penjumlahan matriks dan perkalian matriks merupakan ring. Himpunan I dengan operasi-operasi yang sama merupakan ideal kanan. Sedangkan J dengan operasi-operasi yang sama merupakan ideal kiri.

R1 dan R2 ring-ring (sedikitnya satu tidak komutatif) R1 dan R2 ring-ring (sedikitnya satu tidak komutatif). Bentuk R={(x,y), xR1, yR2} dengan operasi + dan  sbb: (x,y) + (z,u) = (x+z, y+u) dan (x,y)(z,u) = (xz, yu}. S={(x,0), xR1}. S adalah ideal kiri dan kanan sekaligus. IDEAL UTAMA Jika R ring komutatif dengan unkes dan aR, maka ideal {ax, xR} disebut ideal utama yang dibentuk oleh a; notasi (a). Ring komutatif dengan unkes yang setiap idealnya adalah ideal utama, disebut ring ideal utama. Contoh: (Z,+,) adalah ring komutatif. I=himp bil bulat kelipatan 12, yakni (12), merupakan ideal utama. I dapat juga dibentuk oleh (12). Elemen 12 dan 12 disebut generator. I = (6)(4)(3)(2)Z. Jadi I adalah irisan dari semua ideal utama dari Z yang memuat 12.

Ideal Prima (R,+,)=ring komutatif. Ideal P dari R dikatakan ideal prima dari R jika (ab)P mengakibatkan aP atau bP, a,bR. Ideal Maksimal I=ideal maksimal dari ring R, jika dan hanya jika I tidak termuat dalam ideal lain, kecuali I sendiri dan R. Contoh: (Z,+,.) merupakan ring komutatif. K=(11) adalah ideal prima dalam Z. Juga P=(5). (Z,+,.) merupakan ring komutatif, T=(6) bukan ideal prima dalam Z. (Z,+,.) merupakan ring komutatif. K=(11) adalah ideal maksimal, tetapi T=(6) bukan ideal maksimal.

Penting: (Z,+,.) ring bilangan bulat. I adalah ideal maksimal dalam Z jika dan hanya jika ideal I dihasilkan oleh suatu bilangan prima. Ring Kuosien (Ring Faktor/Ring Kelas Residu) S adalah ideal dalam ring R. R/S = {a+S, aR} juga merupakan ring dengan operasi-operasi berikut. (a+S)+(b+S) = (a+b)+S, a,bR (a+S)(b+S) = (ab)+S, a,bR R/S disebut ring kuosien=ring faktor=ring kelas residu. Contoh: (Z,+,.) ring komutatif. S=(5) adalah ideal. Ring faktor Z/S={S, 1+S, 2+S, 3+S, 4+S} adalah ring komutatif juga. Adakah unkes? (Z,+,.) adalah RTPN. S=(6). Z/S = {S, 1+S, 2+S, 3+S, 4+S, 5+S}. Z/S adalah RDPN. T=(3) adalah RTPN.

INTEGRAL DOMAIN (DAERAH INTEGRAL) Adalah suatu ring komutatif dengan unkes, tanpa pembagi nol. SIFAT: Dalam integral domain berlaku pencoretan utk penjumlahan. Karakteristik integral domain adalah nol= atau bilangan prima.

Contoh Contoh: Manakah yang integral domain? Bila integral domain, carilah karakteristiknya. (Z,+,), (Q,+,), (R,+,), (C,+,) D={a+b17, a,b bil bulat} dengan + dan  M={0,1,2,3,4} dengan penjumlahan modulo 5 dan perkalian modulo 5 M={0,1,2,3,4,5} dengan penjumlahan modulo 6 dan perkalian modulo 6. M={1,2,3,4} dengan penjumlahan modulo 5 dan perkalian modulo 5.

Sub Integral Domain Adalah subset dari integral domain, yang dengan operasi-operasi yang sama merupakan integral domain juga. Contoh: (Z,+,) merupakan integral domain, S=(n), n-bil bulat, merupakan sub-nya. (R,+,) merupakan sub-integral domain dari (C,+,).

Penutup Ideal: subgrup dari (R,+) dengan sifat tertentu. Ring Kuosien: produk elemen grup dengan setiap elemen ideal Integral Domain: ring komutatif, dengan unkes, tanpa pembagi nol. Sub Integral Domain: bagian dari integral domain yang juga merupakan integral domain.