UKURAN PEMUSATAN DATA Oleh : Firmansyah, S.Kom MODUL 3

A. TEMA DAN TUJUAN KEGIATAN PEMBELAJARAN Ukuran Pemusatan Data 2. Fokus : Pembahasan Materi Pokok Arti dan manfaat ukuran pemusatan data Rata-rata hitung, median dan modus Kuartil, desil dan persentil   3. Tujuan : Kegiatan Pembelajaran Mahasiswa mampu memahami arti dan manfaat dari beberapa ukuran pemusatan data. Mahasiswa mampu menggunakan rumus-rumus ukuran pemusatan data. Mahasiswa mampu menghitung beberapa ukuran pemusatan data. Mahasiswa mampu mengetahui jenis-jenis ukuran pemusatan data.

Ukuran Pemusatan Data Ukuran pemusatan adalah suatu ukuran yang menunjukkan dimana suatu data memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat (mengelompok) Ukuran pemusatan merupakan penyederhanaan data untuk mempermudah peneliti membuat interprestasi dan mengambil suatu keputusan.

Ukuran Pemusatan Data Lanjutan . . . Ukuran pemusatan data meliputi: Rata-Rata Hitung = Arithmetic Mean Modus Median Kuartil, Desil, Persentil

Ukuran Statistik nantinya akan mencakup data : Ungrouped Data Data yang belum dikelompokkan) Grouped Data Data yang telah dikelompokkan  Tabel Distribusi Frekuensi

Data Nilai Statistika 10 orang mahasiswa Contoh Grouped Data Contoh Ungrouped Data Data Nilai Statistika 10 orang mahasiswa Contoh Grouped Data Data Nilai Statistika 100 orang mahasiswa 78 62 34 57 89 67 55 75 73 56

UKURAN PEMUSATAN Rata-Rata Hitung Notasi : μ : rata-rata hitung populasi x : rata-rata hitung sampel Rata-Rata Hitung untuk Ungrouped Data μ : rata-rata hitung populasi N : ukuran Populasi x : rata-rata hitung sampel n : ukuran Sampel xi : data ke-i

CONTOH 1 Misalkan diketahui Di kota A hanya terdapat 6 PTS, masing-masing tercatat mempunyai banyak mahasiswa sebagai berikut : 850, 1100, 1150, 1250, 750, 900 Berapakah rata-rata banyak mahasiswa PTS di kota A? Rata-Rata Populasi atau Sampel ? Jawab :

CONTOH 2 Setiap 12 jam sekali bagian QC pabrik minuman ringan memeriksa 6 kaleng contoh untuk diperiksa kadar gula sintetisnya (%). Berikut adalah data 6 kaleng minuman contoh yang diperiksa : 13.5 12.5 13 12 11.5 12.5 Jawab :

Rata-Rata untuk Grouped Data Nilainya merupakan pendekatan. Biasanya berhubungan dengan rata-rata hitung sampel x : rata-rata hitung sampel n : ukuran Sampel fi : frekuensi di kelas ke-i xi : Titik Tengah Kelas ke-i

Titik Tengah Kelas (xi) CONTOH 3 Kelas Titik Tengah Kelas (xi) Frekuensi (fi) fi.xi 16 – 23 19,5 10 195 24 – 31 27,5 17 467,5 32 – 39 35,5 7 248,5 40 – 47 43,5 435 48 – 55 51,5 3 154,5 56 – 63 59,5 178,5 Jumlah (∑) 50 1679 Perhatikan tabel diatas. Tentukan rata-rata hitungnya! Jawab :

METODE CODING Metode Coding Metode ini untuk mempermudah perhitungan, dengan penyederhanaan angka M = Titik Tengah Kelas yang diberi kode 0 (ui=0) ui = Kode i (c) = Interval Kelas

PERHITUNGAN DENGAN METODE CODING Langkah : Buat kolom, beri judul "ui“ Pilih salah satu kelas (sembarang), beri angka 0 pada kolom ui,(biasanya dipilih kelas dengan frekuensi tertinggi) Isi kolom Ui diatas 0 dengan –1, -2, -3, dst, dan dibawah 0 dengan angka 1, 2, 3, dst. Buat kolom fi * ui , isi dengan hasil perkalian antara frekuensi kelas dengan kode

CONTOH 4 Tabel data file (dalam Kb) Jawab :

MODUS Nilai yang paling sering muncul Nilai yang frekuensinya paling tinggi Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus) Contoh Berat 5 orang bayi : 3.6 3.5 2.9 3.1 3.0  Tidak Ada Modus Bisa terjadi data tanpa modus Umur Mahasiswa (th) : 19 18 19 18 23 21 19 21 18 20 22 17 Modus : 18 dan 19

MODUS UNTUK UNGROUPED DATA Contoh : Sumbangan PMI warga Depok (Rp) 7500 8000 9000 8000 3000 5000 8000 Modus : Rp. 8000

MODUS UNTUK GROUPED DATA Kelas Modus : Kelas di mana Modus berada Kelas dengan frekuensi tertinggi TBB = Tepi Batas Bawah d1 = Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi Kelas sebelumnya d2 = Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi Kelas sesudahnya i = interval kelas Kelas Modus = kelas dengan frekuensi paling tinggi

MODUS UNTUK GROUPED DATA Kelas Frekuensi 16 – 23 10 24 – 31 17 32 – 39 7 40 – 47 48 – 55 3 56 – 63 Jumlah (∑) 50 Kelas Modus = kelas ke-2 =24-31 TBB Kelas Modus = 23+24 2 = 23,5 i = 8 frek, kelas modus = f2 = 17 frek, kelas sebelum kelas modus = f1 = 10 frek, kelas sesudah kelas modus = f3 = 7 d1 = 17-10 = 7 d2 = 17-7 = 10 Jawab :

MEDIAN Median  Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar MEDIAN untuk Ungrouped Data Letak Median  Letak Median dalam gugus data yang telah tersortir n : banyak data

CONTOH 5 : Tinggi Badan 5 mahasiswa (centimeter) : 175 178 160 173 178 175 178 160 173 178 Sorted : 160 173 175 178 178 n = 5 Letak Median = (5+1) / 2 = 3 Median = Data ke-3 = 175 Tinggi Badan 6 mahasiswa (centimeter) : 175 178 160 173 178 180 Sorted : 160 173 175 178 178 180 n = 6 Letak Median = (6+1) / 2 = 3,5 Median = (Data ke-3 + Data ke-4) / 2 = (175+178)/2 = 176.5

MEDIAN untuk Grouped Data Kelas Median : Kelas di mana Median berada Kelas Median didapatkan dengan membandingkan Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif di mana : TBB : Tepi Batas Bawah i : interval kelas fkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Median f M : Frekuensi kelas Median

MEDIAN UNTUK GROUPED DATA Kelas Frekuensi 16 – 23 10 24 – 31 17 32 – 39 7 40 – 47 48 – 55 3 56 – 63 Jumlah (∑) 50 Letak median = 𝑛 2 = 50 2 = 25 Median = data ke-25 terletak dikelas 24-31 Kelas Median = kelas ke-2 =24-31 TBB Kelas Median = 23+24 2 = 23,5 i = 8 f M =17 Frek kumulatif sebelum kelas median= 10 Jawab :

KUARTIL Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 4 bagian yang sama besar Kuartil Untuk Ungrouped Data

CONTOH SOAL Berikut ini adalah data upah dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100 Cari nilai Q1, Q2, dan Q3.

PENYELESAIAN Pertama-tama data diurutkan dahulu : X1=30, X2=35, X3=40, X4=45, X5=50, X6=55, X7=60, X8=65, X9=70, X10=80, X11=85, X12=95, X13=100. Q1 = t(n + 1) 4 = 1(13 + 1) = 3½ Nilai yang ke-3½, berarti rata-rata dari X3 dan X4  (40+45)/ 2 = 42.5

Q2 = t(n + 1) 4 = 2(13 + 1) Q3 = t(n + 1) = 3(13 + 1) = 7, nilai X7 = 60 Q3 = t(n + 1) = 3(13 + 1) = 10 ½, berarti rata-rata dari X10 dan X11 nilai Q3 = ½ (X10 + X11) = ½ (80 + 85) = 82,5

Kuartil Untuk Grouped Data Kuartil ke-q= TBB Kelas Kuartil ke-q + i 𝑞𝑛 4 −𝑓𝑘𝑚 𝑓𝑄   Dimana : q : 1, 2 dan 3 TBB : Tepi Batas Bawah i : interval kelas fkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Kuartil f Q : Frekuensi kelas Kuartil ke-q

Contoh Kuartil Untuk Grouped Data Kelas Frekuensi Frek kumulatif 16 – 23 10 24 – 31 17 27 32 – 39 7 34 40 – 47 44 48 – 55 3 47 56 – 63 50 Jumlah (∑) ------ Letak kuartil ke-3 = 3𝑛 4 = 3∗50 4 = 37,5 Kuartil ke-3 = data ke-37,5 terletak dikelas 40-47 Kelas Kuartil ke-3 = 40-47 TBB Kelas kuartil ke -3 = 39,5 i = 8 f Q =10 Frek kumulatif sebelum kelas kuartil = 34 Jawab :

DESIL Desil  Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 10 bagian yang sama besar Desil ke-d = TBB Kelas Desil ke-d + i 𝑑𝑛 10 −𝑓𝑘𝑚 𝑓𝐷   Dimana : d : 1, 2, 3 . . . 9 TBB : Tepi Batas Bawah i : interval kelas fkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Desil f D : Frekuensi kelas Desil ke-d

Contoh Soal Desil Jawab : Kelas Frekuensi Frek kumulatif 16 – 23 10 24 – 31 17 27 32 – 39 7 34 40 – 47 44 48 – 55 3 47 56 – 63 50 Jumlah (∑) ------ Letak Desil ke-9 = 9𝑛 10 = 9∗50 10 = 45 Desil ke-9 = data ke-45 terletak dikelas 48-55 Kelas Desil ke-9 = 48-55 TBB Kelas desil ke -9 = 47,5 i = 8 f D = 3 Frek kumulatif sebelum kelas desil = 44 Jawab :

PERSENTIL Persentil  Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 100 bagian yang sama besar Persentil ke-p = TBB Kelas Persentil ke-p + i 𝑝𝑛 100 −𝑓𝑘𝑚 𝑓𝑃   Dimana : p : 1, 2, 3 . . . 99 TBB : Tepi Batas Bawah i : interval kelas fkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Persentil f P : Frekuensi kelas Persentil ke-p

Contoh Soal Persentil Jawab : Kelas Frekuensi Frek kumulatif 16 – 23 10 24 – 31 17 27 32 – 39 7 34 40 – 47 44 48 – 55 3 47 56 – 63 50 Jumlah (∑) ------ Letak Persentil ke-56 = 56𝑛 100 = 56∗50 100 = 28 Persentil ke-56 = data ke-28 terletak dikelas 32-39 Kelas Persentil ke-56 = 32-39 TBB Kelas persentil ke -56 = 31,5 i = 8 f P = 7 Frek kumulatif sebelum kelas persentil = 27 Jawab :

soal Dari data berikut : 38 67 85 95 96 76 125 150 158 120 38 67 85 95 96 76 125 150 158 120 38 36 47 49 89 70 120 80 85 93 43 120 70 67 91 111 25 74 50 100 Buatlah: Tabel Distribusi Frekuensi Hitung mean, median, modus (data berkelompok) Hitung Q3, D7, P82 (data berkelompok)