BAB 7 METODE REJECTION
Metode Rejection ini memiliki beberapa model yang dapat dipergunakan untuk berbagai keperluan, yaitu: 7.1. Fungsi Parabola 7.2. Fungsi-fungsi Distribusi. 7.3. Simulasi Distribusi Gamma
7.1. Fungsi Parabola Metode ini merupakan penarikan random number dari suatu distribusi yang bukan uniform dari suatu fungsi densitas f(t). Sebagai gambaran diberikan grafik fungsi kuadratik sebagai berikut:
Grafik dengan interval (A,B) pd sumbu absis (t) Fungsi PDF f(t) -t t0 B A Grafik dengan interval (A,B) pd sumbu absis (t)
1. Prosedur Metode Rejection Pengambilan random number dengan Pseudo RNG antara 0 dan 1, selanjutnya menentukan random number sebanyak dua kali kelompok nilai. Pergunakan RA pada lokasi dari t (absis) antara titik A dan B dengan titiknya p, sehingga pada absis diperoleh: p = A + (B-A) R Yang digambarkan sebagai berikut:
Gambar RA pada lokasi dari t (absis) antara F(t) (p,q) q A p t0 B Gambar RA pada lokasi dari t (absis) antara titik A dan B dengan titik p
c. Pergunakan RB pada lokasi dari f(t) = Ordinat (vertika A x W) dengan titiknya (point) q = m x RB d. Kemudian dilakukan pemilihan, yaitu: Apabila q < F(p), maka kedua RN dari RA dan RB tersebut ditolak dan kita kembali mengambil RN baru seperti pada langkah 1. Apabila cocok f(p) q, Nilai p dapat diterima sebagai nilai sampel yang diambil dari distribusi tersebut.
Peminjaman dari prosedur-prosedur di atas ternyata berarti semua point yang berada di atas m atau di luarnya akan ditolak. Demikian juga yang berada di luar fungsi f(t) pada suatu interval A dan B pada absis t. Ternyata pembatasan dari area yang dipergunakan untuk pengambilan sampel dari random variate tersebut ada pada interval terbatas.
Grafik yang mempunyai fungsi dengan pembatasan tertentu t Grafik yang mempunyai fungsi dengan pembatasan tertentu
Contoh Soal
7.2. Fungsi-fungsi Distribusi Jika fungsi densitas g(x) diketahui, maka fungsi densitas f(x) dapat dibangkitkan dengan membangkitkan y dari g. Dengan menerima nilai y dengan probabilitas f(y) atau C. g(y), maka dapat dibangkitkan random variabel U dan kemudian dapat menerima y apabila: U f(y) atau c . G(y) g(y) = 1 0 <x<1 Contoh soal:
7.3. Simulasi Distribusi Gamma Random variabel yang dimulai dengan bentuk tidak negatif dalam berbagai distribusi yang mempunyai data simetris dan lebih condong landai kekanan sering terdapat pada: Panjangnya waktu kerusakan pada mesin-mesin pesawat. Panjangnya waktu kunjungan pada supermarket atau bank-bank atau lainnya. Panjangnya waktu untuk perbaikan (maintenance) mobil atau kapal dll.
Untuk hal ini dikenal suatu distribusi probabilitas densitas gamma dengan fungsi sebagai berikut: (x) = fungsi gamma, dan rata-rata distribusi gamma adalah E(X) = (.), sedangkan variasinya, Var(X) = ( . 2)
Sebagai ilustrasi akan diberikan distribusi Gamma dengan parameter: = 3/2 dan = 1 dengan fungsi gamma: () = 1/k. Untuk berarti fungsi densitas gamma: f(x) = K. Xx-1 e-x/ = KX1/2 e-x
Untuk simulasi distribusi probabilitas gamma ini dapat kita gunakan metode penolakan (Rejection Method) dengan mengumpamakan fungsi variabel f(x) dan fungsi horisontal g(x) sehingga diperoleh: Dimana c adalah konstanta Dengan bentuk dari metode penolakan ini adalah: Untuk U = RNG
Bentuk dari RNG ini dapat dicari dengan distribusi gamma, untuk diterima nilai-nilainya atau akan tidak diterima apabila: diterima ditolak
Sebagai ilustrasi dari distribusi Gamma dengan variabel acak seperti = 3/2 X sehingga dianggap wajar untuk menggunakan distribusi eksponensial dengan rata-rata yang sama, Yaitu dengan g(x) = 2/3 e2/3 x x > 0 Dengan ini penguraian lebih banyak dapat dilakukan :
Untuk mencari nilai elastrena maksimum dari fungsi ini adalah dengan mendefenisikan fungsi ini dan disamakan dengan nol sehingga akan diperoleh:
Dengan demikian dapat dinyatakan: C = 3/2K(3/2)1/2 e-1/2 untuk K =
= 2,07215 (0,60653 = 1,2568 Karena K = , maka didapat
Untuk c = 1,2568, maka = 1,346 X1/2 e-1/2
Dengan ini penerimaan/penolakan dinyatakan dengan : U2 1, 346 . U1 e-1/2 dapat diterima U2 1,346 . U1 e-1/2 ditolak (rejected)