Pemodelan Input Catatan diambil dari “Discrete-event System Simulation” by Banks, Carson, Nelson, and Nicol, Prentice Hall, 2005, and “Simulation Modeling and Analysis” by Law and Kelton, McGraw Hill, 2000.

Outline Kualitas output bergantung pada model input yang mengendalikan simulasi Modul ini membahas: Pengambilan data dari sistem riil Hipotesis distribusi probabilitas Pemilihan parameter untuk distribusi Goodness of fit test – seberapa baik distribusi memodelkan data yang tersedia Pemilihan distribusi jika tidak ada data Model proses kedatangan (Proses Poisson, Proses Poisson Non-stasioner, Batch Arrival)

Pengambilan Data Buat rencana terlebih dahulu: mulai dengan sesi latihan atau pra-observasi, perhatikan kejadian yang tidak biasa. Analisis data pada saat dikumpulkan: cek kecukupannya. Kombinasikan set data homogen, misalnya periode waktu yang berturut-turut, selama periode waktu yang sama pada hari yang berurutan. Berhati-hatilah dalam melakukan sensor data: kuantitas tidak diobservasi secara total, menghabiskan waktu proses yang lama. Periksa hubungan antar variabel, misalnya, buat diagram penyebaran. Cek otokorelasi Kumpulkan data input, bukan data kinerja.

Identifikasi Distribusi Probabilitas Beberapa teknik yang dapat digunakan (bisa digabungkan) Pengetahuan awal mengenai peran variabel random. Waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial jika kedatangan terjadi satu per satu, memiliki mean rate konstan, dan independen. Waktu pelayanan tidak terdistribusi normal karena waktu pelayanan tidak boleh negatif. Produk banyak bagian yang independen bisa bersifat Lognormal Gunakan dasar fisik distribusi sebagai panduan Statistik rangkuman Histogram

Panduan Distribusi Gunakan dasar fisik distribusi sebagai panduan, sebagai contoh: Binomial: # sukses dalam n percobaan. Poisson: # independent event yang terjadi dalam waktu atau ruang tertentu. Normal: distribusi proses yang merupakan jumlah komponen-komponen proses. Eksponensial: waktu antara independent event, atau waktu proses yang tidak memakai memory. Weibull: waktu sampai kegagalan komponen. Uniform diskrit atau kontinu: memodelkan ketidakpastian yang lengkap. Triangular: proses yang hanya nilai minimum, dan kemungkinan besar, nilai maksimum yang diketahui. Empiris: sampel ulang dari data aktual yang dikumpulkan.

Statistik Rangkuman

Histogram Distribusi frekuensi atau histogram berguna untuk menentukan bentuk distribusi Jumlah interval kelas bergantung pada: Jumlah observasi Penyebaran data Disarankan: akar kuadrat ukuran sampel Untuk data kontinu: Berhubungan dengan fungsi densitas probabilitas dari distribusi teoritis. Untuk data diskrit: Berhubungan dengan fungsi massa probabilitas. Jika hanya tersedia beberapa titik data: gabungkan sel yang bersisian untuk menghaluskan bentuk histogram.

Histogram untuk Data Kontinu Ambil n = 100 sample waktu antar kedatangan request kepada Web server dalam periode 1-minute period (lihat Web page) Kedatangan request kurang lebih stasioner – # request yang datang dalam periode 10-detik kurang lebih sama. Sample mean = 0.534 detik; median = 0.398; CV = 0.98 Distribusi eksponensial? Sisi kanan menunjukkan dua histogram: gambar atas dengan interval atau ukuran bin 0.1 detik; gambar bawah dengan ukuran bin 0.25 detik.

Histogram untuk Data Diskrit Sampel n = 100 observasi jumlah barang yang diminta dari sebuah job shop per minggu untuk periode waktu yang lama (# permintaan, # observasi): {(0,1), (1,3), (2,8), (3,14), (4, 18), (5,17), (6,16), (7,10), (8,8), (9,4), (10, 1)} Mean = 4.94, varians = 4.4, Lexis ratio = 0.9 Distribusi Poisson?

Estimasi Parameter Tahap berikutnya setelah pemilihan sekelompok distribusi Jika observasi pada sample dengan ukuran n adalah X1, X2, …, Xn (diskrit atau kontinu), mean dan varians sampel adalah: Jika data diskrit dan dikelompokkan pada distribusi frekuensi: dengan fj adalah frekuensi yang terobservasi dari nilai Xj

Estimasi Parameter Jika data mentah tidak tersedia (data dikelompokkan dalam interval kelas), aproksimasi mean dan varians sampel adalah: di mana fj frekuensi yang terobservasi pada interval kelas ke-j mj adalah titik tengah interval ke-j, dan c adalah jumlah interval kelas Parameter adalah konstanta yang tidak diketahui, sedangkan estimator adalah sebuah nilai statistik.

Seberapa Representatif Fit Data tersebut? Plot data kontinu sepanjang histogram dan cari kesamaannya Data diskrit – bandingkan frekuensi yang terobservasi dengan frekuensi yang diharapkan Coba plot Quantile-Quantile Plot Fitted Dist Terobservasi

Quantile-Quantile Plot Q-Q plot merupakan alat bantu yang berguna untuk evaluasi fit distribusi Jika X adalah variabel acak dengan cdf F, maka q-quantile dari X adalah g sedemikian sehingga Di mana F memiliki invers, g = F-1(q) Jika {xi, i = 1,2, …., n} merupakan sampel data dari X dan {yj, j = 1,2, …, n} adalah observasi dengan urutan naik: di mana j adalah ranking atau nomer urut

Quantile-Quantile Plot Plot yj versus F-1( (j-0.5)/n) adalah Aproksimasi adalah garis lurus jika F merupakan anggota kelompok distribusi yang sesuai Garis tersebut memiliki slope 1 jika F merupakan anggota kelompok distribusi yang sesuai dengan nilai parameter yang sesuai

Quantile-Quantile Plot Contoh: Cek apakah waktu pemasangan pintu terdistribusi normal [BCNN05] Observasi diurutkan dari yang paling kecil ke yang paling besar: yj di-plot versus F-1( (j-0.5)/n) dengan F memiliki distribusi normal dengan mean sampel (99.99 detik) dan varians sampel (0.28322 detik2)

Quantile-Quantile Plot [BCNN05] Contoh (lanjutan): Cek apakah waktu pemasangan pintu terdistribusi normal . Garis lurus, mendukung hipotesa distribusi normal distribution Fungsi densitas distribusi normal yang di-superimpose

Quantile-Quantile Plot [BCNN05] Perhatikan hal-hal berikut ini ketika mengevaluasi linieritas q-q plot: Nilai yang terobservasi tidak pernah tepat berada pada garis lurus Nilai yang terurut diberi peringkat, dan dengan demikian tidak independen, tidak mungkin titik-titik tersebut tersebar sepanjang garis Varians titik-titik ekstrim lebih tinggi dari yang di tengah. Linieritas titik-titda di tengah plot lebih penting. Q-Q plot juga dapat digunakan untuk memeriksa homogenitas Cek apakah satu distribusi dapat merepresentasikan sample set kedua-duanya. Mem-plot nilai urutan kedua sampel data terhadap satu sama lain.

Uji Goodness-of-Fit [BCNN05] Lakukan pengujian hipotesis pada distribusi data input dengan menggunakan: Kolmogorov-Smirnov (KS) test Chi-square test Tidak ada distribusi tunggal yang benar pada aplikasi riil. Jika data yang tersedia hanya sedikit, distribusi kandidat tidak mungkin diabaikan Jika banyak tersedia data, mungkin saja semua distribusi kandidat diabaikan

Uji Chi-Square [BCNN05] Bandingkan histogram data dengan bentuk fungsi distribusi kandidat Valid untuk ukuran sampel yang besar di mana parameter diestimasi dengan maximum likelihood Atur n observasi menjadi satu set k interval kelas atau cell, statistik uji adalah: yang secara aproksimasi mengikuti distribusi chi-square dengan k-s-1 derajat kebebasan, di mana s = # parameter distribusi hipotesis yang di-estimasi oleh statistik sampel. Frekuensi yang diharapkan Ei = n*pi dengan pi adalah probabilitas teoritis dari interval ke-i. Minimum yang disarankan = 5 Frekuensi yang terobservasi

Uji Chi-Square Null hypothesis – observasi dari satu distribusi yang sudah ditentukan tidak dapat diabaikan dari signifikansi α jika: Catatan: Error pada cell dengan Ei’s yang kecil mempengaruhi statistik uji lebih dari cell dengan Ei’s yang besar. Ukuran minimum Ei diperdebatkan: [BCNN05] merekomendasikan nilai sebesar 3 atau lebih; jika tidak, gabungkan cell yang bersisian. Uji hanya dirancang untuk distribusi diskrit ukuran sampel yang besar. Untuk distribusi kontinu, uji Chi-Square hanya merupakan pendekatan (yaitu, tingkat signifikansi hanya berlaku untuk n->∞). Didapat dari tabel

Uji Chi-Square Contoh 1: 500 bilangan acak dibangkitkan dengan menggunakan random number generator; observasi dikategorisasi ke dalam cell dengan 0.1, antara 0 and 1. Pada tingkat signifikansi 0.1, apakah bilangan-bilangan ini IID U(0,1)?

Digabungkan karena min Ei Uji Chi-Square [BCNN05] Contoh 2: Kedatangan kendaraan H0: variabel acak terdistribusi Poisson. H1: variabel acak tidak terdistribusi Poisson. Derajat kebebasan adalah k-s-1 = 7-1-1 = 5, dengan demikian, hipotesis tidak diterima pada tingkat signifikansi 0.05. Digabungkan karena min Ei

Uji Chi-Square Jika distribusi yang diuji kontinu: dengan ai-1 dan ai adalah titik ujung interval kelas ke-ith dan f(x) adalah pdf yang diasumsikan, F(x) adalah cdf yang diasumsikan. Jumlah interval kelas yang diasumsikan (k): Perhatikan: Pengelompokan data yang berbeda (yaitu, k) dapat mempengaruhi hasil uji hipotesis.

Uji Kolmogorov-Smirnov (KS) Selisih antara CDF F0(x) observasi dan CDF Fe(x) ekspektasi harus kecil; formalisasi ide Q-Q plot. Tahap 1: Beri peringkat observasi dari terkecil sampai terbesar: Y1 ≤ Y2 ≤ Y3 ≤ … ≤ Yn Tahap 2: Definisikan Fe(x) = (#i: Yi ≤ x)/n Tahap 3: Hitung K sebagai berikut:

Uji KS Contoh: Uji jika populasi bersifat eksponensial dengan parameter β = 0.01; yaitu Fe(x) = 1 – e–βx; K[0.9,15] = 1.0298.

Uji KS Uji KS sesuai untuk sampel yang kecil, baik kontinu maupun diskrit. Uji KS, tidak seperti uji Chi-Square, memakai setiap observasi pada sampel tanpa mengelompokkan data menjadi cell (interval). Uji KS bersifat pasti jika semua parameter distribusi ekspektasi telah diketahui.

Pemilihan Model tanpa Data Jika data tidak tersedia, beberapa sumber yang dapat dipakai untuk memperoleh informasi mengenai proses adalah: Engineering data: seringkali produk atau proses memiliki rating kinerja yang disediakan oleh manufacturer, atau peraturan perusahaan menentukan standard waktu atau produksi. Pilihan pakar: orang-orang yang berpengalaman dengan proses tersebut, ataupun yang menyerupai, seringkali dapat memberikan waktu optimistik, pesimistik dan yang paling mungkin, dan mereka juga bisa mengetahui variabilitas. Keterbatasan fisik atau konvensional: batasan fisik atas kinerja, batasan lain yang mempersempit kisaran proses input. Karakteristik proses. Distribusi uniform, triangular, dan beta sering digunakan sebagai model input. [lihat LK00]

Model Proses Kedatangan Proses Poisson Poisson non-stasioner Batch Arrival

Proses Poisson Definisi: N(t) melambangkan jumlah kedatangan pada interval waktu [0,t]. Proses stokastik {N(t), t>=0} merupakan proses Poisson dengan mean rate l jika: N(0) = 0 Kedatangan terjadi satu per satu {N(t), t>=0} memiliki inkremen stasioner – jumlah kedatangan pada interval tertentu hanya bergantung pada panjang interval, bukan lokasinya {N(t), t>=0} memiliki inkremen independen – jumlah kedatangan pada interval waktu disjoint adalah independen. Dan …

Proses Poisson: Waktu Antar Kedatangan Anggap waktu antar kedatangan proses Possion process (A1, A2, …), dengan Ai adalah waktu antara kedatangan i dan kedatangan i+1 Kedatangan pertama terjadi setelah waktu t jika dan hanya jika tidak ada kedatangan pada interval [0,t], dengan demikian: P{A1 > t} = P{N(t) = 0} = e-lt P{A1 <= t} = 1 – e-lt [cdf exp(l)] Waktu antar kedatangan, A1, A2, …, terdistribusi eksponensial dan independen dengan mean 1/l Penghitungan kedatangan ~ Poisson(l) Waktu antar kedatangan ~ Exp(1/l) Stasioner dan independen Memoryless

Proses Poisson: Splitting dan Pooling Anggap setiap event proses Poisson dapat diklasifikasikan sebagai Type I, dengan probabilitas p dan Type II, dengan probabilitas 1-p. N(t) = N1(t) + N2(t), dengan N1(t) dan N2(t) adalah proses Poisson dengan rate l p dan l (1-p) Pooling: Dua proses Poisson di-pool bersama N1(t) + N2(t) = N(t), dengan N(t) adalah proses Poisson dengan rate l1 + l2 lp N1(t) ~ Poisson[lp] l N(t) ~ Poisson(l) N2(t) ~ Poisson[l(1-p)] l(1-p) l1 N1(t) ~ Poisson[l1] l1 + l2 N(t) ~ Poisson(l1 + l2) N2(t) ~ Poisson[l2] l2

Proses Poisson Non-stasioner (NSPP) Proses Poisson tanpa inkremen stasioner, dikarakterisasikan oleh l(t), kecepatan kedatangan pada waktu t. Jumlah kedatangan ekspektasi pada waktu t, L(t): Menghubungkan proses Poisson stasioner n(t) dengan rate l=1 dan NSPP N(t) dengan rate l(t): Tentukan waktu kedatangan proses stasioner dengan rate l = 1 sebagai t1, t2, …, dan waktu kedatangan NSPP dengan rate l(t) sebagai T1, T2, …, kita ketahui: ti = L(Ti) Ti = L-1(ti)

Proses Poisson Non-stasioner (NSPP) Contoh: Misalkan kedatangan di Kantor Pos memiliki rate 2 per menit dari jam 8 pagi sampai 12 siang, dan kemudian 0.5 per menit sampai jam 4 sore. Tentukan t = 0 mewakili jam 8 pagi, NSPP N(t) memiliki fungsi kecepatan: Jumlah kedatangan ekspektasi pada waktu t: Dengan demikian, distribusi probabilitas jumlah kedatangan antara jam 11 pagi dan 2 siang. P[N(6) – N(3) = k] = P[N(L(6)) – N(L(3)) = k] = P[N(9) – N(6) = k] = e(9-6)(9-6)k/k! = e3(3)k/k!

Batch Process N(t) adalah jumlah batch yang datang pada waktu t. Jika waktu antara kedatangan batch adalah variabel acak eksponensial IID, {N(t), t≥0} dapat dimodelkan sebagai proses Poisson. X(t) = jumlah total pelanggan yang datang sampai waktu t; Bi = jumlah pelanggan pada batch ke-i; maka Jika Bi’s adalah variabel acak IID yang independen terhadap {N(t) t≥0}, dan jika {N(t), t≥0} adalah proses Poisson, maka proses stokastik {X(t), t≥0} adalah proses Compound Poisson