5. FUNGSI

5.1 Fungsi Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi. Telah dijelaskan sebelumnya, jika terdapat himpunan A dan himpunan B maka relasi dari A ke B adalah himpunan pasangan terurut (a,b) sedemikian sehingga a  A dan b  B. Jika pada relasi dikenakan aturan tertentu, maka relasi tersebut disebut fungsi. Fungsi didefinisikan sebagai aturan yang menetapkan bahwa setiap satu elemen di A dihubungkan dengan tepat satu elemen di B

 A B ▸ (a) (b) (c) Gambar 5.1 Fungsi

5.2 Sifat-sifat Fungsi Berdasarkan sifatnya fungi dapat dibagi menjadi beberapa sifat, yaitu: 1) satu ke satu (one to one) atau injektif (injective), 2) “pada” (onto) atau surjektif (surjective), 3) berkoresponden satu ke satu (one to one correspondence) atau bijektif (bijective) 4) fungsi yang mempunyai balikan (inverse).

  A B ▸ A B ▸ 5.2.1 Fungsi satu ke satu (One to One) Fungsi f dari A ke B dikatakan satu ke satu (one-to- one) atau injective jika dan hanya jika untuk setiap a1 dan a2 anggota himpunan A, berlaku f(a1)  f(a2) jika a1  a2. Artinya setiap elemen yang berbeda pada A mempunyai pasangan yang berbeda pula pada B. Gambar berikut adalah contoh fungsi satu ke satu.  A B ▸  A B ▸

5.2.2 Fungsi “pada” (onto) atau surjektif (surjective). Contoh 5.1 Tentukan apakah f(x) = x – 1 fungsi satu ke satu? Penyelesaian: Karena f(a1)  f(a2) untuk setiap a1  a2, maka f(x) = x – 1 adalah fungsi satu ke satu. 5.2.2 Fungsi “pada” (onto) atau surjektif (surjective). Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B bersifat “pada” (onto) atau surjective jika dan hanya jika untuk setiap elemen b pada himpunan B mempunyai pasangan elemen a pada himpunan A sedemikian, sehingga f(a) = b. Artinya setiap elemen pada himpunan B pasti mempunyai pasangan pada himpunan A.

Gambar berikut adalah contoh fungsi bersifat “pada”.  A B ▸

Contoh 5.2 f(x) = 2x dari himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan genap positif adalah fungsi yang bersifat “pada”. 1 2 3 4 5 ⋮ 2 4 6 8 10 A B ▸

Sedangkan f(x) = 2x dari himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan bulat bukan fungsi yang bersifat “pada”, karena ada sebagian bilangan asli yang tidak dapat dipetakan ke bilangan bulat negatif atau ke bilangan ganjil. A B 1 2 3 4 5 ⋮ 1 2 3 4 5 6 -1 ▸

 5.2.3 Bersifat Bijeksi (Bijective) Suatu fungsi dikatakan bijeksi atau berkorespondensi satu ke satu jika fungsi tersebut merupakan fungsi “satu ke satu” dan fungsi “pada”.  A B ▸

Contoh 5.3 Fungsi f(x) = 2x dari himpunan bilangan asli N ke himpunan bilangan genap positif P adalah fungsi satu ke satu dan fungsi “pada”. Berarti f(x) = 2x adalah fungsi bijeksi dari N ke P. 5.2.3 Balikan Fungsi (Inverse Function) Suatu fungsi mempunyai balikan (inverse) jika fungsi tersebut berkoresponden satu ke satu atau bijeksi

Contoh 5.4 Tentukan fungi invers f(x) = 2x dari himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan genap positif. Penyelesaian: Karena f(x) berkorespondensi satu ke satu dari himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan genap positif, maka f(x) mempunyai balikan.

5.3 Komposisi Fungsi Misal g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Selanjutnya komposisi fungsi f dan g, dilambangkan dengan f ∘ g, adalah sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan C yang memenuhi f g(x) = f(g(x)), x A

A B C  a g(a) f(g(a)) f ∘ g f g

Contoh 5.5 Jika f(x) = x2 , dan g(x) = x + 1, maka komposisi f dan g adalah: f(x) = x2 f(g(x) ) = (g(x))2 = ( x + 1 )2

Contoh 5.6 Diberikan fungsi g = {(1,u), (2,u), (3,w)} yang Memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} dan fungsi f = {(u,y), (v,x), (w,z)} yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah f ∘ g={(1,y), (2,y),(3,z)} ▸ A 1 2 3 B u v w x y z C