Statistik Diskriptif

Defenisi Statistika deskriptif (descriptive statistics) berkaitan dengan penerapan metode statistik untuk mengumpulkan, mengolah, menyajikan dan menganalisis data kuantitatif secara deskriptif

Ukuran Nilai Tengah Yaitu suatu nilai yang dapat mewakili sekelompok nilai hasil pengamatan dan disebut juga nilai rata-rata Macam-macam nilai tengah : Rata-rata hitung (arithmatic mean),disingkat mean Median, dan Modus (mode)

Contoh Soal Berikut adalah data nilai ujian Statistik Dasar dari15 mahasiswa Program Studi tertentu. (n = 15) X1 X15 Data yang diurutkan: Adakah perbedaan dari penyajian kedua data di atas? 87 37 59 49 69 95 83 39 76 26 46 26 37 39 46 49 59 69 76 83 87 95

1. Rata-rata Hitung Adalah jumlah semua hasil pengamatan (Σx) dibagi dengan banyaknya pengamatan (n) Simbol : - μ (mu)  rata-rata pupulasi -  rata-rata sampel

Dengan menggunakan berikut diperoleh rata-rata = 67,60 26 37 39 46 49 59 69 76 83 87 95 Dengan menggunakan berikut diperoleh rata-rata = 67,60 Penghitungan rata-rata dapat diselesaikan dgn bbrp rumus: Data disusun dalam distribusi tidak dikelompokan Tabel distribusi frekuensi nilai ujian statistik = Rata-rata ∑ = jumlah f = frekuensi X = hasil pengamatan N = jlh pengamatan Nilai(x) f fx 26 1 37 39 46 49 59 69 76 83 3 249 87 2 174 95 190 Jumlah 15 1014

2. Data disusun dalam distribusi frekuensi dikelompokan pada interval kelas yang sama Tabel distribusi frekuensi dikelompokan = rata-rata Σ = Jumlah f = frekuensi Nt= Nilai tengah Interval f Nt fNt 11-30 1 20.5 31-40 2 35.5 71 41-50 45.5 91 51-60 55.5 61-70 65.5 71-80 75.5 81-90 5 85.5 427.5 91-110 105 201 Jumlah 15 1007.5

3. Perhitungan rata-rata 4 Tabel distribusi frekuensi kode = Rata-rata Nt0 = nilai tengah ttk nol i = interval kelas f = Frekuensi d = kode n = jumlah pengamatan Interval f Nt d fd 21-30 1 25.5 -2 31-40 2 35.5 -1 41-50 45.5 51-60 55.5 61-70 65.5 71-80 75.5 3 81-90 5 85.5 4 20 91-100 95.5 10 Jumlah 15 32

4. Distribusi frekuensi dengan interval kelas tidak sama Tabel distribusi frekuensi interval tidak sama = Rata-rata Nt0 = nilai tengah ttk nol i = interval kelas f = Frekuensi d = kode n = jumlah pengamatan interval f Nt d fd 21-30 1 25.5 -3 31-40 2 35.5 -2 -4 41-50 45.5 -1 51-60 55.5 61-70 65.5 71-80 75.5 81-90 5 85.5 3 15 91-100 95.5 4 8 Jumlah 17 i = 10

3. Median Merupakan ukuran nilai tengah yang berada dengan rata-rata (mean) karena median hanya menyatakan posisi tengah dari sederetan angka. Membagi dua sama banyak, 50% berada dibawah median dan 50% diatas median Me = Median n = Banyaknya pengamatan

Penghitungan median, data tidak dikelompokkan 26 37 39 46 49 59 69 76 83 87 95 Me

2. Penghitungan median pada distribusi frekuensi yang dikelompokan Me = median Me’ = batas bawah kelas i = interval kelas Me” = posisi median = ½ n fkum = frekuensi kumulatif dari tepi bawah kelas sebelum median f = frekuensi kelas dimana median berada

Jumlah pengamatan dari median = ½n = 7,5 26 37 39 46 49 59 69 76 83 87 95 Me Jumlah pengamatan dari median = ½n = 7,5 Median terletak pada posisi 7 dan 8 Batas bawah kelas sebelum median 70.5 Interval kelas 11 Frekuensi kumulatif kelas sblm median = 7 Frekuensi kelas dimana median berada = 1 Interval f Fkum < batas atas 21-30 1 31-40 2 3 41-50 5 51-60 6 61-70 7 71-80 8 81-90 13 91-100 15 Jumlah

Modus Merupakan salah satu ukuran nilai tengah yang dinyatakan dalam frekuensi terbanyak dari data kumulatif maupun data kuantitatif Modus bisa juga dinyatakan sebagai puncak suatu kurva, dikenal unibola satu puncak, bimodal  dua puncak, mutimodal  lebih dari dua Perhitungan modus dapat dilakukan: Untuk data distribusi frekuensi yang tidak dikelompokan Untuk data distribusi frekuensi yang dikelompokan

Perhitungan modus untuk data yang tidak dikelompokan 26 37 39 46 49 59 69 76 83 87 95 Mod Perhitungan modus untuk data distribusi frekuensi dikelompokan Mo = Modus Lmo = tepi bawah kelas dimana modus berada d1 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya dibawahnya d2 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan kelas tepat sesudahnya i = interval

Dengan rumus 10, didapat nilai median Lmo = 80,5 d1 = 3 – 1 = 2 26 37 39 46 49 59 69 76 83 87 95 Interval f 26-30 1 31-35 36-40 2 41-45 46-50 51-55 56-60 61-65 66-70 71-75 76-80 81-85 3* 86-90 91-95

PENGUKURAN DISPERSI, KEMIRINGAN, DAN KERUNCINGAN DISTRIBUSI DATA

HOMOGEN DAN HETEROGEN DATA 50,50,50,50,50 30,40,50,60,70 20,30,50,70,80 Ketiga kelompok data mempunyai rata-rata hitung yang sama, yaitu :

DISPERSI DATA Ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data. Jenisnya : Dispersi mutlak - Jangkauan (Range) - Simpangan Rata-rata (Mean Deviation) - Variansi (Variance) - Standar Deviasi (Standart Deviation) - Simpangan Kuartil (Quartile Deviation) Dispersi relatif Koefisien Variasi (Coeficient of Variation)

1. JANGKAUAN r = nilai maksimum – nilai minimum Semakin kecil nilai r maka kualitas data akan semakin baik, sebaliknya semakin besar nilai r, maka kualitasnya semakin tidak baik.

2. SIMPANGAN RATA-RATA Jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi dibagi dengan banyaknya data. Data tidak berkelompok : Data berkelompok :

SIMPANGAN RATA-RATA (lanjutan) Contoh : Interval Kelas X f 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 15 28 41 54 67 80 93 3 4 8 12 23 6 50,92 37,92 24,92 11,92 1,08 14,08 27,08 152,76 151,68 99,68 95,36 12,96 323,84 162,48 Σf = 60 998,76

3. VARIANSI Rata-rata kuadrat selisih dari semua nilai data terhadap nilai rata-rata hitung. Data tidak berkelompok : Data berkelompok :

4. STANDAR DEVIASI Akar pangkat dua dari Variansi. Disebut juga Simpangan Baku. Data tidak berkelompok : Data berkelompok :

STANDAR DEVIASI (lanjutan) Contoh 1 : Interval Kelas X f 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 15 28 41 54 67 80 93 3 4 8 12 23 6 2592,85 1437,93 621 142,09 1,17 198,25 733,33 7778,55 5751,72 2484 1136,72 14,04 4559,75 4399,98 Σf = 60 26124,76

STANDAR DEVIASI (lanjutan) Menghitung Variansi dan Standar Deviasi juga dapat menggunakan Kode (U).

STANDAR DEVIASI (lanjutan) Contoh 2 : Interval Kelas X U f fU fU2 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 15 28 41 54 67 80 93 -3 -2 -1 1 2 3 4 8 12 23 6 -9 -8 -4 46 18 27 16 92 Σf = 60 ΣfU = 55 205

KEMIRINGAN DISTRIBUSI DATA Derajat atau ukuran dari ketidak simetrian suatu distribusi data. Ada 3 rumus : 1. Pearson 2. Momen 3. Bowley

1. RUMUS PEARSON

2. RUMUS MOMEN Data tidak berkelompok Data berkelompok

RUMUS MOMEN (lanjutan)

3. RUMUS BOWLEY Jika Q3 - Q2 = Q2 - Q1 atau Q3 + Q1 - 2Q2 = 0 maka α = 0 dan distribusi datanya simetri Jika Q1 = Q2 maka α = 1 dan distribusi datanya miring ke kanan Jika Q2 = Q3 maka α = -1 dan distribusi datanya miring ke kiri

KERUNCINGAN DISTRIBUSI DATA Derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Disebut juga Kurtosis. Ada 3 jenis : 1. Leptokurtis, puncak relatif tinggi 2. Mesokurtis, puncaknya normal 3. Platikurtis, puncak rendah

KERUNCINGAN DISTRIBUSI DATA (lanjutan) Data tidak berkelompok Data berkelompok

Dispersi (dibahas lebih lanjut) (Ukuran Penyimpangan=Ukuran Variasi) Dipersi digunakan untuk : Mendapatkan informasi tambahan tentang penyimpangan yang terjadi pada suatu distribusi Kita dapat menilai ketepatan nilai tengah dalam mewakili distribusinya. Perhitungan dispersi juga mempunyai arti penting untuk mengadakan analisis melalui perhitungan statistik yang lebih mendalam

Rentang = data terbesar – data terkecil Rentang adalah ukuran dispersi yang melibatkan 2 nilai dalam distribusi, yaitu nilai terbesar dan nilai terkecil x1 x2 26 37 39 46 49 59 69 76 83 87 95 Rentang = data terbesar – data terkecil

2. Quartil 26 37 39 46 49 59 69 76 83 87 95 q1 q3 q2 = med

3. Rentang Antar-Quartil (Jangkauan Antar Kuartil) Adalah selisih antara q3 dengan q1 yang sama dengan 50% bagian tengah dari seluruh distribusi. Deviasi quartil Median

Jumlah dan Interval Kelompok Menentukan banyaknya kelompok (Sturges-1926) m = Jumlah kelompok Menentukan interval kelompok R = Rentang Maka data tersebut mempunyai 5 kelompok dengan interval 14 26 37 39 46 49 59 69 76 83 87 95

f Jumlah Tabel distribusi frekuensi Interval Nt (Nt- ) 26-39 3 32.5 37 39 46 49 59 69 76 83 87 95 Tabel distribusi frekuensi Interval f Nt (Nt- ) (Nt- )2 f(Nt- )2 26-39 3 32.5 -35.1 1232.01 3696.03 40-53 2 46.5 -21.1 445.21 890.42 54-67 1 60.5 -7.1 50.41 68-81 74.5 6.9 47.61 95.22 82-95 7 88.5 20.9 436.81 3057.67 Jumlah 15 7789.75

Untuk data tidak dikelompokan 26 37 39 46 49 59 69 76 83 87 95 Untuk data tidak dikelompokan

Koevesien Variasi Untuk data dikelompokan Untuk data tidak dikelompokan

Penyelesaian : 1. Membuat data terurut Penyelesaian : 1. Membuat data terurut. 22 25 25 27 30 32 32 34 35 37 38 41 42 44 45 47 47 48 49 51 51 52 53 54 54 55 57 57 58 59 59 60 63 64 64 66 67 68 68 69 71 72 73 75 75 76 76 78 80 86 2. Rentang, R = X max – X min = 86 – 22 = 64

3. Banyaknya kelas dengan rumus STURGES : k = 1 + 3,3 log N k = 1 + 3,3 log 50 k = 6,6  7 4. Interval Kelas : I = R / k = 64 / 7 = 9,14  10