HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR Pertemuan 3 Matakuliah : K0342 / Metode Numerik I Tahun : 2006 HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR Pertemuan 3

HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR Pertemuan 3 HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR

PERSAMAAN NIRLANJAR (N0N LINIER) Yaitu persamaan yang mengandung variabel berpangkat lebih dari satu dan/atau yang mengandung fungsi-fungsi transenden Contoh: 1. 2. 3. dsb

Numerical method for finding roots of non linear equations Bracketing methods Open Newton-Raphson method Bisecton method False position method Fixed point method Secant method

Bracketing Methods: - At least two guesses are required - Require that the guesses bracket the root of an equation - More robust that open methods Open Methods: - Most of the time, only one initial guess is required - Do that require that the guesses bracket the root of the equation - More computationally efficient than bracketing methods but they do not always work…..may blow up !!

Bracketing Methods Bisection method Method of False position These methods are known as bracketing methods because they rely on having two initial guesses. - xl - lower bound and - xu - upper bound. The guesses must bracket (be either side of) the root. WHY ?

f(x) x xu xl xr Bila f(xu) dan f(xl) berlainan tanda maka pasti akar, xr, diantara xu dan xl. i.e. xl < xr < xu. f(x) x xl xu xr Atau terdapat akar yang banyaknya ganjil.

f(x) x Bila f(xu) dan f(xl) mempunyai tanda yang sama, maka kemungkinan tidak terdapa akar diantara xl and xu. xl xu f(x) x xl xu xr Atau kemungkinan terdapat banyaknya akar genap diantara xl and xu.

There are exceptions to the rules f(x) Multiple roots occur here When the function is tangential to the x-axis, multiple roots occur f(x) x Functions with discontinuities do not obey the rules above

The Bisection Method can be used to solve the roots for such an equation.  The method can be described by the following algorithm to solve for a root for the function f(x): Choose upper and lower limits (a and b) 2. Make sure a < b, and that a and b lie within the range for which the function is defined. 3. Check to see if a root exists between a and b (check to see if f(a)*f(b) < 0) 4. Calculate the midpoint of a and b (mid = (a+b)/2) 5. if f(mid)*f(a) < 0 then the root lies between mid and a (set b=mid), otherwise it lies between b and mid (set a=mid) 6. if f(mid) is greater than epsilon then loop back to step 4, otherwise report the value of mid as the root.

Metoda Bisection Metode Bisection

Bisection method… This method converges to any pre-specified tolerance when a single root exists on a continuous function Example Exercise: write a function that finds the square root of any positive number that does not require programmer to specify estimates

Iterasi Metoda bagi dua Double Click disini

Metode Bisection

Metoda Posisi Salah Metoda posisi salah (Regula Falsi) tetap menggunakan dua titik perkiraan awal seperti pada metoda bagi dua yaitu a0 dan b0 dengan syarat f(a0).f(b0) < 0. Metoda Regula Falsi dibuat untuk mempecepat konvergensi iterasi pada metoda bagi dua yaitu dengan melibatkan f(a) dan f(b) Rumus iterasi Regula Falsi: n=0,1,2,3,…

Metoda Posisi Salah

Pada metoda tetap, rumus iterasi diperoleh dari f(x) =0 yaitu Metoda Terbuka 1. Metoda titik tetap Pada metoda tetap, rumus iterasi diperoleh dari f(x) =0 yaitu dengan mengubah f(x) = 0 menjadi: atau

Rumus iterasi diperoleh dengan x=x +f(x) yaitu: Contoh: f(x) = 1 – x – x^3=0 Rumus iterasi diperoleh dengan x=x +f(x) yaitu: 1-2x-x^3 = -x, kemudian diubah menjadi: Jawab : Jawab : Jadi akar pendekatan adalah

Jadi akar pendekatan adalah 1.732051 Hitung f(x) = 3 – x2 X + kx + 3 – x2 = x + kx Jawab : x0 = 1 x1= (1) + 1-(1)2/3 =1.666667 x2= (1.666667) + 1-(1.666667)2/3 =1.740741 x3= (1.740741) + 1-(1.740741)2/3 =1.730681 x4= (1.730681) + 1-(1.730681)2/3 =1.732018 Jawab : x5= (1.732018) + 1-(1.732018)2/3 =1.732056 x6= (1.732056) + 1-(1.732056)2/3 =1.732051 Jadi akar pendekatan adalah 1.732051

Metode Newton

Double click disini

Terima kasih Terima kasih