PROBABILITAS & STATISTIK MUG2D3 Tim Dosen (PPDU) : 1. Judi Alhilman, Drs., MSIE. 2. Agus Alex Yanuar, ST., MT. 3. ... Program Studi S1 – Teknik Industri Fakultas Rekayasa Industri Telkom University

DISTRIBUSI PELUANG BIVARIAT DAN DAN MARGINAL DISTRIBUSI GABUNGAN DISTRIBUSI MARGINAL EKSPEKTASI KOVARIANSI BEBAS STATISTIK

Joint Distribution Function DISTRIBUSI PELUANG BIVARIAT DAN MARGINAL Joint Distribution Function  

Joint Distribution Function : PMF Fungsi f(x,y) adalah sebuah joint probability distribution dari variabel random diskrit X dan Y jika: 1. f(x,y) > 0 untuk semua (x,y) 2. 3. P(X=x, Y=y) = f(x, y) untuk setiap daerah pada bidang xy, P [(X,Y)  A] =

  f(x,y) y g(x) 1 2 x 3/28 6/28 1/28 10/28 9/28 6/24 15/28 h(y) 12/28    

Joint Distribution Function : PDF Fungsi f(x,y) adalah sebuah joint density function dari variabel random kontinu X dan Y jika: 1. f(x,y) > 0 untuk semua (x,y) 2. 3. P[(X,Y)A] = untuk setiap daerah A yang diberikan pada bidang xy

Contoh 2 : Sebuah restoran memiliki fasilitas walk-in dan drive-in Contoh 2 : Sebuah restoran memiliki fasilitas walk-in dan drive-in. Pada suatu hari pengamatan yang dipilih secara random, tetapkan X dan Y masing-masing sebagai proporsi waktu penggunaan dari fasilitas walk-in dan drive-in. Diperkirakan joint density function dari kedua variabel random ini adalah: Pertanyaan: Periksalah apakah f(x,y) merupakan sebuah joint density function ? Berapa probabilitas walk-in sibuk kurang dari setengah hari sedangkan drive in sibuk lebih dari seperempat dan kurang dari kurang dari setengah hari? Jawab: a.

Berapa probabilitas walk-in sibuk kurang dari setengah hari sedangkan drive in sibuk lebih dari seperempat dan kurang dari kurang dari setengah hari? Jawab: b.

Distribusi Marginal : PDF & PMF Distribusi marjinal dari X saja dan dari Y saja adalah: g(x) = dan h(y) = untuk kasus diskrit, dan g(x) = dan h(y) = untuk kasus kontinu.

Dalam bentuk Tabel Distribusi Marginal: Contoh 3 : Memperhatikan soal contoh 1, fungsi distribusi peluang gabungan dinyatakan dalam tabel di samping, tunjukkan peluang distribusi marginal dari X (baris) saja dan Y (lajur) saja untuk pmf dan pdf? Jawab: a. pmf f(x,y) y g(x) 1 2 x 3/28 6/28 1/28 10/28 9/28 6/24 15/28 h(y) 12/28   Dalam bentuk Tabel Distribusi Marginal:

Jawab: b. Pdf Menurut definisi, maka g(x) = Untuk 0  x  1 dan g(x) = 0, untuk x lainnya. Dan h(y) = Untuk 0  y  1 dan h(y) = 0, untuk y lainnya.

Ekspektasi Joint Distribution Function : PMF & PDF Jika X dan Y variabel random dengan peluang gabungan f(x,y), maka nilai harapan g(X,Y) adalah: untuk kasus diskrit, dan untuk kasus kontinu.

Contoh 4 : Misal X dan Y variabel dengan distribusi peluang gabungan pada contoh 1. Hitunglah nilai harapan g(X,Y) = XY? Jawab: Pandanglah distribusi peluang gabungan pada tabel di samping. f(x,y) y g(x) 1 2 x 3/28 6/28 1/28 10/28 9/28 6/24 15/28 h(y) 12/28 Memperhatikan definisi Ekspektasi peluang gabungan pmf, maka dapat dituliskan:

Contoh 5 : Hitunglah: Jawab:

Kovariansi Joint Distribution Function : PDF & PMF  

Contoh 6 : Misal X dan Y variabel dengan distribusi peluang gabungan pada contoh 1. Hitunglah kovariansi X dan Y? Jawab: Diperoleh E(XY) = 3/14 f(x,y) y g(x) 1 2 x 3/28 6/28 1/28 10/28 9/28 6/24 15/28 h(y) 12/28   dan   jadi  

Contoh 7 : Bagian pelari pria X dan wanita Y yang menempuh lomba maraton telah dengan pdf: Carilah kovariansi X dan Y Jawab: Distribusi marginal untuk pdf: Dengan: Diperoleh Ekspektasi distribusi gabungan untuk pdf: Jadi Kovariansi :

Statistical Independence : PMF/PDF Diberikan dua variabel random X dan Y, diskrit ataupun kontinu (pmf/pdf), dengan joint distribution function, f(x,y) dan distribusi marginal g(x) dan h(y), berturut-turut. Variabel random X dan Y dikatakan independen secara statistika, jika dan hanya jika: f (x,y) = g(x)h(y) untuk semua (x,y) dalam rentang yang ada. Dengan nilah harapan: E(XY) = E(X).E(Y)

peluang f(0,1), g(0) dan h(1), yaitu: Contoh 8 : Tunjukkan bahwa variabel random pada contoh 1 tidak bebas statistik? Jawab: Pandanglah titik (0,1) dari tabel di di samping, diperoleh ketiga f(x,y) y g(x) 1 2 x 3/28 6/28 1/28 10/28 9/28 6/24 15/28 h(y) 12/28 peluang f(0,1), g(0) dan h(1), yaitu: Jelas bahwa: f(0,1)  g(0)h(1), jadi X dan Y tidak bebas statistik.