ALJABAR BOOLE Aljabar boole diperkenalkan ( pada abad 19 oleh George Boole) sebagai suatu sistem untuk menganalisis secara matematis mengenai logika. Aljabar boole didasarkan pada pernyataan logika bernilai benar atau salah. Aljabar boole ini menjadi alat yang sangat ampuh untuk merancang maupun menganalisis rangkaian digital.

Dalam aljabar boole, baik konstanta maupun nilai suatu variabel hanya diijinkan memiliki dua kemungkinan harga (biner) yaitu 0 atau 1. Variabel aljabar boole sering digunakan untuk menyajikan suatu tingkat tegangan pada terminal suatu rangkaian. Aljabar boole lebih cocok digunakan untuk rangkaian digital dibandingkan dengan aljabar yang lain.

Postulat (operasi dasar) dalam aljabar boole : Dalam aljabar boole tidak ada pecahan, desimal, bilangan negatif, akar kwadrat, akar pangkat tiga, logaritma, bilangan imajiner, dan sebagainya. Postulat (operasi dasar) dalam aljabar boole : Penjumlahan logika atau OR dengan simbol operasi ‘+’ (tanda plus). Perkalian logika atau AND dengan simbol operasi ‘.’ (tanda titik) atau tanpa tanda sama sekali. Komplementasi atau NOT (atau inversi) dengan simbol operasi ‘’ (garis di atas variabel.

Aturan operasi OR, AND dan NOT pada dua tingkat logika 0 dan 1 dapat dirangkum sebagai berikut : OR AND NOT 0 + 0 = 0 0 . 0 = 0 0 = 1 0 + 1 = 1 0 . 1 = 0 1 = 0 1 + 0 = 1 1 . 0 = 0 1 + 1 = 1 1 . 1 = 1 Aljabar boole dapat digunakan sebagai salah satu cara untuk menganalisis rangkaian logika dan menyatakan operasinya secara matematik, terutama untuk mendapatkan konfigurasi rangkaian yang paling sederhana.

Teorema dalam Aljabar Boole A . 1 = A A . A = A A . A = 0 A + 0 = A A + 1 = 1 A + A = A A + A = 1. Teorema 1) hingga 8) , variabel A sebenarnya dapat menyajikan suatu pernyataan yang berisi lebih dari satu variabel.

9. A + B = B + A (komutatif OR) A . B = B . A (komutatif AND) A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C (asosiatif OR) A(BC) = (AB)C = ABC (asosiatif AND) A(B + C) = AB + AC (distributif OR) (A + B)(C + D) = AC + BC + AD + BD (distributif AND) A + AB = A (absorbtif) A + AB = A + B (absorbtif) Teorema De Morgan : (A + B)` = A . B (A . B) = A + B

Minimalisasi Rangkaian Logika Realisasi rangkaian logika dengan fungsi tertentu dari suatu pernyataan logika pada umumnya tidak unik, artinya ada bermacam-macam konfigurasi rangkaian dengan fungsi yang sama. Tentu saja dipilih cara ataupun konfigurasi yang paling sederhana. Salah satu cara penyederhanaan rangkaian logika tersebut adalah Metode analitis yang menggunakan teorema-teorema aljabar boole.

Apakah fungsi rangkaian berikut sama. Analisislah Apakah fungsi rangkaian berikut sama ? Analisislah ! Rangkaian mana yang lebih sederhana ? A B C Y A B C Y

Contoh Buktikanlah bahwa (A + B)(A + C) = A + BC ! Penyelesaian : (A + B)(A + C) = AA + AC + AB + BC = A + AC + AB + BC = A + AB + AC + BC = A (1 + B) + C (A + B) = A + C (A + B) = A + AC + BC = A (1 + C) + BC = A + BC.

Soal-soal 1. Tuliskanlah persamaan boolean (persamaan logika) pada rangkaian digital berikut, dan kemudian rancanglah rangkaian yang lebih sederhana (jika mungkin) dengan fungsi yang sama ! A B C V

Teorema Boolean apa (dapat lebih dari satu teorema) yang digunakan untuk mengubah identitas pada persamaan logika berikut : ABC + BC + A = BC + A 3. Ubahlah rangkaian pada gambar berikut menjadi rangkaian lain yang setara (fungsinya sama) tetapi hanya menggunakan gerbang NAND : B C Y A

4. Tentukan persamaan yang sederhana dan gambarkan rangkaian logiknya untuk menghasilkan keluaran Y dari masukan A, B, dan C jika diagram pewaktu untuk setiap saluran tersebut tampak pada gambar nerikut : B A C Y

DITERUSKAN KE PETA KARNAUGH 5. Selidiki apakah kedua rangkaian berikut ekivalen, baik menggunakan teorema aljabar boole ataupun dengan tabel kebenaran ! B Y1 A Y2 DITERUSKAN KE PETA KARNAUGH