Assalamu’alakum Wr. Wb.

Matematika SMP/MTs Kelas VIII Semester Genap By: Vivin Alifah Teorema Pythagoras Matematika SMP/MTs Kelas VIII Semester Genap By: Vivin Alifah

Teorema Pythagoras Kompetensi Dasar Standar Kompetensi Indikator Petunjuk Belajar

3. Menggunakan teorema phytagoras dalam pemecahan masalah Standar Kompetensi: 3. Menggunakan teorema phytagoras dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar: 3.1 Menggunakan teorema pythagoras untuk menentukan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku 3.2 Memecahkan masalah pada bangun datar yang berkaitan dengan teorema pythagoras

Menemukan teorema pythagoras Indikator Menemukan teorema pythagoras Menghitung panjang sisi segitiga siku-siku, jika dua sisi lain diketahui Menemukan kebalikan teorema pythagoras

3 kali pertemuan (3×45 menit) Petunjuk Belajar Bacalah dan pahami rangkuman materi yang tersedia! Tanyakan kepada guru jika ada yang belum jelas atau kurang dimengerti! Kerjakan soal-soal yang tersedia! Alokasi Waktu: 3 kali pertemuan (3×45 menit)

SISTEM PENILAIAN DAFTAR PUSTAKA C. A. Teorema Pythagoras A. Kuadrat dan Akar Kuadrat Suatu Bilangan B. C. Penggunaan Teorema Pythagoras pada Bangun Datar D. Kebalikan Teorema Pythagoras E. Evaluasi Pembelajaran SISTEM PENILAIAN DAFTAR PUSTAKA

Kuadrat dan Akar Kuadrat Suatu Bilangan 2. Luas Persegi dan Luas Segitiga Siku-Siku contoh

Kuadrat dan Akar Kuadrat Suatu Bilangan Kuadrat adalah hasil perkalian bilangan tersebut dengan dirinya sendiri. Misalnya, a adalah sembarang bilangan, maka kuadrat dari a ditulis a2 = a × a

Akar kuadrat merupakan kebalikan dari kuadrat suatu bilangan Akar kuadrat merupakan kebalikan dari kuadrat suatu bilangan. Bilangan a disebut akar kuadrat dari a2 dan dapat ditulis √a2 = a

2. Luas Persegi dan Luas Segitiga Siku-Siku Perhatikan Gambar 2. Luas Persegi dan Luas Segitiga Siku-Siku Perhatikan Gambar! Persegi ABCD, dengan panjang AB = BC = CD = AD. Jika panjang sisi persegi ABCD adalah a, maka luas persegi tersebut: Luas persegi ABCD = sisi × sisi = a × a = a2 A B C D a

Perhatikan Gambar. Segitiga ABCD siku-siku di A Perhatikan Gambar! Segitiga ABCD siku-siku di A. Maka luas segitiga tersebut adalah: Luas ∆ ABC = ½ × alas x tinggi = ½ × AB × AC = ½at A t C B a

Contoh 1) Sebuah lukisan berbentuk persegi dengan ukuran sisi 20 cm. Berapakah luas permukaan lukisan tersebut? Penyelesaian: Luas permukaan lukisan = sisi × sisi = 20 × 20 = 400 Jadi, luas permukaan lukisan tersebut adalah 400 cm2.

2) ∆ PQR siku-siku di Q dengan panjang PQ = 5 cm, QR = 12 cm, dan PR = 13 cm. Tentukan luas ∆ PQR dan panjang garis QS yang tegak lurus PR! Penyelesaian: Luas ∆ PQR = ½ x alas x tinggi = ½ × PQ × QR = ½ × 5 × 12 = 30 cm2 Q P R S

Luas ∆ PQR = ½ × PR × QS 30 = ½ × 13 × QS 30 = 6,5 × QS QS = 30/6,5 = 4,6 cm Jadi, luas ∆ PQR adalah 30 cm2 dan panjang garis tinggi QS adalah 4,6 cm.

1. Menemukan Teorema Pythagoras 2. Pembuktian Teorema Oythagoras 3. Teorema Pythagoras pada Segitiga Siku-Siku Contoh

1. Menemukan Teorema Pythagoras a. Gambarlah sebuah segitiga siku-siku dan tiga buah persegi seperti pada gambar. b. Guntinglah sisi persegi-persegi tersebut yang berimpit dengan sisi-sisi segitiga. Kemudian, gunting persegi II dan III serta tempatkan guntingan tersebut pada persegi I. c. Apakah guntingan persegi II dan III dapat menutup persegi I dengan tepat? Apa yang dapat kamu simpulkan? d. Lakukan sekali lagi kegiatan b dan c, tetapi dengan bentuk guntingan yang baru. Teorema Pythagoras Teorema Pythagoras 1. Menemukan Teorema Pythagoras Masalah Guntingan Kertas Kerjakan kegiatan berikut ini sesuai dengan perintah! I III II

Setelah mengerjakan masalah guntingan kertas, kamu akan menemukan bahwa persegi II dan III akan menutup persegi I dengan tepat. Oleh karena itu, secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut. “Dalam suatu segitiga siku-siku, luas persegi dengan panjang sisi miring (hipotenusa) akan sama dengan jumlah persegi pada dua sisi yang lain”

Jadi, untuk setiap segitiga siku-siku berlaku: “Dalam segitiga siku-siku, kuadrat dari hipotenusa sama dengan jumlah kuadrat dua sisi yang lain”

2. Pembuktian Teorema Pythagoras Pada setiap segitiga siku-siku, sisi-sisinya terdiri dari sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa). Perhatikan gambar, ∆ ABC siku-siku di A dengan BC = a adalah sisi miring (hipotenusa). Teorema Pythagoras dalam ∆ ABC ditulis: BC2 = AB2 + AC2, maka a2 = c2 + b2 A B C c b a

Pembuktian teorema Pythagoras akan dipelajari berikut ini: Perhatikan gambar (i). c² c b N a S M R L Q K P (i) Sisi-sisi persegi KLMN adalah hipotenusa segitiga-segitiga siku-siku yang diarsir. Luas persegi tersebut adalah:

Luas persegi KLMN = Luas persegi PQRS – (4 × luas segitiga yang diarsir) ⇔ c2 = (a + b) (a + b) – 4 × ½ ab ⇔ c2 = a2 + 2ab + b2 – 2ab ⇔ c2 = a2 + b2

Perhatikan gambar(ii) Jumlah luas 2 persegi yang tidak diarsir = luas persegi bersisi (b + a) - jumlah luas segitiga-segitiga siku-siku kongruen yang diarsir. Ternyata, jumlah luas persegi yang tidak diarsir pada gambar (ii) = luas persegi yang tidak diarsir pada gambar (i). Jadi, c2 = a2 + b2 b² a² c b a S R Q P (ii)

3. Teorema Pythagoras pada Segitiga Siku-Siku Pada gambar, ∆ ABC siku-siku di B dengan AC = b adalah sisi miring. Berdasarkan teorema Pythagoras, dapat diturunkan rumus-rumus sebagai berikut: AC2 = AB2 + BC2 b2 = c2 + a2, atau a2 = b2 – c2, atau c2 = b2 – a2 A B C c a b

Contoh Perhatikan gambar. Diketahui AB = b = 8 cm dan AC = a = 6 cm, Maka: c2 = a2 + b2 c2 = 62 + 82 c2 = 36 + 64 c2 = √100 = 10 Jadi, panjang sisi BC adalah 10 cm A B C ? 8 cm 6 cm

Penggunaan Teorema Pythagoras pada Bangun Datar Masalah Sawah Pak Ali memiliki sepetak sawah berbentuk persegi panjang dengan ukuran 30 m × 40 m. Ia berencana membuat parit di sepanjang diagonalnya. Tentukan panjang parit tersebut! Bila biaya pembuatan parit tersebut Rp.3.000,00 per meter, hitunglah biayapembuatan parit seluruhnya!

Penyelesaian: Pada ∆ ABC, diagonal AC menggambarkan panjang parit yang akan dibuat. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, maka: AC2 = AB2 + BC2 = 402 + 302 =1.600 + 900 =2.500 AC = √2.500 = 50 Jadi, panjang parit yang akan dibuat Pak Ali adalah 50 m. A B D C 30 m 40 m

Biaya yang harus dikeluarkan untuk membuat parit sepanjang 50 m adalah: = biaya per meter × panjang parit = 3.000 × 50 =15.000 Jadi, biaya yang harus dikeluarkan Pak Ali adalah Rp. 15.000,00.

Kebalikan Teorema Pythagoras 1. Tripel Pythagoras 2. Kebalikan Teorema Pythagoras Contoh

Kebalikan Teorema Pythagoras 1. Triple Pythagoras Sebelum mempelajari kebalikan teorema Pythagoras, terlebih dahulu akan dipelajari tripel Pythagoras. Untuk itu, kerjakan praktik berikut ini. Praktik Lakukan langkah-langkah membentuk segitiga siku-siku berikut! Ambillah tali yang agak besar, kemudian buatlah 13 simpul dengan jarak yang sama. Cobalah untuk membentuk segitiga siku-siku dengan menggunakan tali tersebut, di mana setiap titik sudutnya tepat berada pada simpul. Bila jarak setiap simpul disebut 1 satuan, ada berapa satuan pada setiap sisi segitiga yang telah kamu buat?

Misalnya, a dan b adalah sisi-sisi siku-siku segitiga dan c adalah hipotenusa, maka: a = x2 – y2 b = 2xy c = x2 + y2 Setiap tiga bilangan yang ditemukan dengan menggunakan rumus tersebut pasti memenuhi teorema Pythagoras. Tiga bilangan tersebut dinamakan triple Pythgoras.

Tiga bilangan a, b, dan c disebut triple Pythagoras jika memenuhi c2 = a2 + b2 Jadi, untuk x, y, € bilangan bulat positif dengan x > y, dapat ditentukan triple Pythagoras: a = x2 – y2 b = 2xy c = x2 + y2

Contoh Hitunglah triple Pythagoras yang dapat dibentuk jika ditentukan x = 5 dan y = 2! Penyelesaian: x2 – y2 = 52 - 22 = 25 – 4 = 21 2xy = 2 (5) (2) = 20 x2 + y2 = 52 + 22 = 25 + 4 = 29

Untuk menguji (21, 20, 29) merupakan triple Pythagoras, maka harus memenuhi: c2 = a2 + b2 292 = 212 + 202 841 = 441 + 400 841 = 841 (pernyataan benar) Karena 21, 20, dan 29 memenuhi hubungan 292 = 212 + 202, maka ketiga bilangan itu merupakan triple Pythagoras.

2. Kebalikan Teorema Pythagoras Masalah Tali Boni mempunyai seutas tali yang panjangnya 132 cm. Dengan tali tersebut, dia akan membentuk sebuah segitiga yang panjang dua siku-sikunya masing-masing 11 cm dan 60 cm. Apakah segitiga yang terbentuk adalah segitiga siku-siku?

Dari masalah tali tersebut, maka panjang hipotenusa segitiga yang akan dibuat Boni adalah: c2 = a2 + b2 c2 = 112 + 602 c2 = 121 + 3600 c2 = 3721 c = √3721 = 61 cm Jadi, ukuran sisi-sisi segitiga yang akan dibuat Boni adalah 11 cm, 60 cm, dan 61 cm.

Perhatikan gambar. Pada gambar (i), c2 = a2 + b2 Perhatikan gambar! Pada gambar (i), c2 = a2 + b2. Apakah ∆ ABC siku-siku di A? Pada gambar (ii), PR = b, PQ = a, dan ∆ PQR siku-siku di P. c b a i C B A ii x b a R Q P

Oleh karena itu, berlaku teorema Pythagoras, yaitu: x2 = a2 + b2 Dari kedua gambar tersebut, diperoleh: c2 = a2 + b2 Maka x2 = c2 dan x = a. Jadi, ∆ ABC dan ∆ PQR kongruen, sehingga: ∠ A = ∠ P = 90°

Dengan demikian, kebalikan teorema Pythagoras adalah benar, yaitu: ”Jika dalam segitiga ABC berlaku hubungan c2 = a2 + b2, maka segitiga ABC adalah segitiga siku-siku”

Evaluasi Pembelajaran A. Pilihan Ganda Pilihlah jawaban yang benar! 1. Pasangan-pasangan bilangan di bawah ini yang dapat membentuk segitiga siku-siku adalah... A. 1, 2, 3 C. 6, 7, 8 B. 3, 4, 5 D. 9, 10, 11

2. Pada gambar di bawah ini, ∆ PQR siku-siku di P 2. Pada gambar di bawah ini, ∆ PQR siku-siku di P. Jika panjang QR=17 cm dan PQ=8 cm maka panjang PR adalah... A. 9 cm C. 15 cm B. 14 cm D. 16 cm 8 cm 17 cm R Q P

3. Sebuah persegi panjang berukuran panjang 24 cm dan panjang diagonalnya 30 cm. Luas persegi panjang tesebut adalah... A. 432 cm2 C. 216 cm2 B. 360 cm2 D.720 cm2 A B D C 30 cm 24 cm

4. Panjang sisi sebuah persegi adalah 5 cm. Panjang diagonalnya adalah 4. Panjang sisi sebuah persegi adalah 5 cm. Panjang diagonalnya adalah... A. 5 cm C. 5√3 cm B. 5√2 cm D. 6 cm 5. Panjang sisi siku-siku dalam segitiga siku-siku adalah 4x cm dan 3x cm. Jika panjang sisi hepotenusanya 20 cm, maka keliling segitiga tersebut adalah... A. 27 cm C. 54 cm B. 34 cm D. 48 cm

6. Pada gambar di bawah ini, ∆ABC siku-siku sama kaki (AB=AC) 6. Pada gambar di bawah ini, ∆ABC siku-siku sama kaki (AB=AC). Jika panjang BC=24 cm maka panjang AB=... A. √24 cm C. √288 cm B. √48 cm D. √72 cm A 24 cm C B

7. Panjang diagonal sebuah persegi yang luasnya 196 cm2 adalah. A 7. Panjang diagonal sebuah persegi yang luasnya 196 cm2 adalah... A. √48 cm C. √68 cm B. √58 cm D. √98 cm 8. Perhatikan gambar! ∆KLM siku-siku di M. Nilai x adalah... A. 10 cm C. 12 cm B. 11 cm D. 13 cm K (x-1) x 5 cm L M

9. Perhatikan gambar ! Bila panjang AD= 4 cm, CD= 6 cm, dan BC= 10 cm, maka panjang AB adalah... A. 4 √5 cm C. 4√2 cm B. 4√3 cm D. 4 cm 10 cm 6 cm 4 cm D B C A

10. Belah ketupat PQRS memiliki panjang RS=10 cm dan panjang PR =12 cm 10. Belah ketupat PQRS memiliki panjang RS=10 cm dan panjang PR =12 cm . Panjang QS adalah... A. 8 cm C. 14 cm B. 15 cm D. 16 cm S R Q P 12 cm 10 cm

B. Jawablah dengan singkat dan jelas! 1. Perhatikan Gambar! Segi empat ABCD dengan panjang sisi AB = 8 cm, CB = 6 cm, CD = 26 cm dan AD = 24 cm. ∆ABC siku-siku di B. Hitunglah panjang AC! Gunakan kebalikan teorema Pythagoras untuk membuktikan bahwa ∆ACD adalah segitiga siku-siku. A 24 cm 26 cm 6 cm 8 cm D C B

2. Robin menaikkan layang-layang dengan benang yang panjangnya 80 m 2. Robin menaikkan layang-layang dengan benang yang panjangnya 80 m. Jarak Budi dengan titik di tanah yang tepat di bawah layang-layang adalah 48 m. Tentukan tinggi layang-layang tersebut!

Sistem Penilaian Nilai soal pilihan ganda: (B) Nilai soal uraian:

Daftar Pustaka Hadi, Samsul.2007.Aplikasi Matematika 2.Yudhistira:Jakarta. Adinawan M, C dan Sugijono.2005.Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII.Erlangga:Jakarta.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb. Terima Kasih Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Jawaban Anda Benar

Jawaban Anda Benar

Jawaban Anda Benar

Jawaban Anda Benar

Jawaban Anda Benar

Jawaban Anda Benar

Jawaban Anda Benar

Jawaban Anda Benar

Jawaban Anda Salah Silahkan Coba Lagi!

Jawaban Anda Salah Silahkan Coba Lagi!

Jawaban Anda Salah Silahkan Coba Lagi!

Jawaban Anda Salah Silahkan Coba Lagi!

Jawaban Anda Salah Silahkan Coba Lagi!

Jawaban Anda Salah Silahkan Coba Lagi!

Jawaban Anda Salah Silahkan Coba Lagi!

Jawaban Anda Salah Silahkan Coba Lagi!