GRUP

Grup Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar  aljabar abstrak (abstract algebra). Sistim aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu himpunan obyek, satu atau lebih operasi pada himpunan bersama dengan hukum tertentu yang dipenuhi oleh operasi. Salah satu alasan yang paling penting untuk mempelajari sistim tersebut adalah untuk menyatukan sifat-sifat pada topik-topik yang berbeda dalam matematika.

Hukum tertutup : a * b  G untuk semua a, b  G, Definisi II.1 Suatu grup (group) < G , * > terdiri dari himpunan anggota G bersama dengan operasi biner * yang didefinisikan pada G dan memenuhi hukum berikut : Hukum tertutup : a * b  G untuk semua a, b  G, Hukum assosiatif : ( a * b ) * c = a * ( b * c ) untuk semua a, b, c  G,

(3) Hukum identitas : terdapatlah suatu anggota e  G sehingga e * x = x * e = x untuk semua x  G, (4) Hukum invers : untuk setiap a  G, terdapatlah a  G sehingga a * a = a * a = e. Biasanya lambang < G , * > hanya dituliskan G, demikian juga ab artinya a * b dan a-1 adalah lambang untuk invers a.

Contoh II.1 Himpunan bilangan bulat Z merupakan grup terhadap operasi +. Himpunan bilangan asli N bukan grup terhadap operasi +. Himpunan bilangan kompleks C merupakan grup terhadap operasi +. Himpunan bilangan real R – {0} merupakan grup terhadap operasi perkalian. Himpunan bilangan bulat modulo n merupakan grup terhadap operasi penjumlahan modulo n.

mempunyai penyelesaian dalam suatu grup yaitu x = a * b. Sifat-sifat sederhana dalam grup Dalam pembahasan terdahulu telah dicacat bahwa sebagai akibat definisi grup, sebarang persamaan a * x = b mempunyai penyelesaian dalam suatu grup yaitu x = a * b. Sifat sifat sederhana yang lain dinyatakan dalam teorema berikut ini.

Teorema II.1 Dalam sebarang grup berlaku sifat sifat berikut : Hukum kanselasi kiri : Jika a x = a y maka x = y. Hukum kanselasi kanan : Jika x a = y a maka x = y. Anggota identitas itu tunggal yaitu jika e dan e elemen G yang memenuhi hukum identitas maka e = e. Invers dari sebarang anggota G akan tunggal yaitu jika a dan b merupakan invers dari x maka a = b. ( ab) -1 = b-1 a-1

Bukti : 1. Diberikan ax = ay. Karena G grup dan a  G maka terdapat a-1 sehingga a a-1 = a-1 a = e dengan e identitas. Akibatnya a-1 (ax) = a-1 (ay) dan dengan menggunakan hukum assosiatif diperoleh (a-1 a)x = (a-1 a)y dan dengan hukum invers diperoleh ex = ey akhirnya dengan hukum identitas x = y

3. Karena e suatu anggota identitas maka e e = e. Pada sisi lain e e = e, sehingga e e = e = e. 4. Karena a dan b merupakan invers x maka berlaku xa = e dan xb = e. Karena anggota identitas itu tunggal maka xa = e = xb Akibatnya dengan menggunakan hukum kanselasi kiri maka a = b. 5. Karena ab . b-1 a-1 = a (b b-1) a-1 = a e a-1 = a a-1 = e dan b-1 a-1 . ab = b-1(a-1 a)b = b-1 e b = b-1 b = e maka (ab)-1 = b-1 a-1 .

Latihan Grup

TERIMA KASIH