Hubungan Non-linear http://rosihan.web.id

Pada Pertemuan kali ini, kita akan mempelajari …………. Fungsi kuadrat - Identifikasi persamaan kuadrat - Lingkaran - Elips - Hiperbola - Parabola

Persamaan Berderajat Dua Polinom atau suku banyak pada variabel x dilambangkan dengan P(x), mengandung suku-suku Kxn, dimana K = konstanta, dan n merupakan bilangan bulat. Bentuk umum polinom berderajat n adalah : P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + .… + anxn Kedua suku pertama P(x) adalah juga berbentuk Kxn, karena dapat ditulis a0x0 dan a1x1

Persamaan Berderajat Dua © Kalau polinom berderajat n disamakan nol maka diperoleh persamaan berderajat n dalam x. a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn = 0 Buat n = 2, maka diperoleh persamaan derajat dua dalam x : a0 + a1x + a2x2 = 0 Yang sering juga ditulis : ax2 + bx + c = 0

Persamaan Berderajat Dua ©

Persamaan Berderajat Dua ©

Persamaan Berderajat Dua © Polinom atau suku banyak pada variabel x dan y yang dilambangkan P(x,y) ialah ungkapan yang mengandung suku Kxrys, dimana K=konstanta, r dan s = bilangan bulat. Harga tertinggi (r+s) suatu suku P(x,y) dinamakan derajat polinom itu. Jika P(x,y) berderajat n=0  Ax + By + C = 0 (grafik berupa garis lurus) Bentuk umum persamaan derajat dua x dan y: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (Grafik persamaan ini adalah sebuah potongan kerucut yaitu : lingkaran, elips, parabola dan hiperbola)

Gambar Potongan Kerucut A=0 atau C=0, tapi tidak keduanya Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Lingkaran A = C ≠ 0 Parabola Elips A ≠ C, tanda sama Hiperbola A dan C berlawanan tanda

Identifikasi Persamaan Kuadrat Bentuk Umum Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Lingkaran A = C ≠ 0 Elips B2 – 4AC < 0 Parabola B2 – 4AC = 0 Hiperbola B2 – 4AC > 0 Bentuk Umum Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Lingkaran Jika: A = C ≠ 0 Elips Jika: A ≠ C, tanda sama Parabola Jika: A = 0 atau C = 0, tapi tidak keduanya Hiperbola Jika: A dan C, berlawanan tanda

LINGKARAN Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan atau lokus titik-titik P(x,y) yang jaraknya r sampai suatu titik M yang dinamakan pusat lingkaran adalah sama. Persamaan lingkaran (umum): ax2 + by2 +cx + dy + e = 0; dimana → a = b ≠ 0 Bila pusat lingkaran berimpit dengan titik asal (0, 0), berlaku hukum Pythagoras x2 + y2 = r2 → koordinat pusat lingkaran M(0, 0).

LINGKARAN Jika koordinat pusat lingkaran M(h, k), persamaan lingkaran: (x – h)2 + (y – k)2 = r2 x2 – 2hx + h2 +y2 – 2ky +k2 – r2 = 0 x2 + y2 – 2hx – 2ky + (h2 +k2 – r2) = 0  ax2 + by2 + cx + dy + e = 0 (a = b; c dan d bilangan positif atau negatif; e = h2 +k2 – r2 ).

LINGKARAN © Bila pusat lingkaran dipindahkan dari 0 ke M(h,k) , maka juga dengan hukum pythagoras diperleh persamaan lingkaran : (x – h)2 + (y – k)2 = r2 x  (x – h), y  (y – k) Dapat ditulis x2 + y2 - 2hx - 2ky + (h2+k2 – r2)=0 y r x M(h,k) h k P(x,y) h dan k bisa positif / negatif  persamaan lingkaran : Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0  D = – 2h; E = – 2k; F = (h2+k2 – r2)

LINGKARAN : Tentukan pusat dan jari2 lingkaran : x2 + y2 – 8x – 6y – 11 = 0 Jawab: (x2 – 8x )+ (y2 – 6y) =11 (x2 – 8x + 16)+ (y2 – 6y + 9) =11+ 16 + 9 = 36 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 62  Pusat lingkaran M (4; 3) Jari-jari ≡ r = 6.

LINGKARAN Persamaan umum lingkaran: ax2 + ay2 + cx + dy + e = 0 x2 + y2 + (c/a) x + (d/a) y + (e/a) = 0 Rumus baku lingkaran: (x – i)2 + (y – j)2 – r2 = 0 x2 + y2 – 2i x – 2j y + (i2 + j2 – r2) = 0  (c/a) = – 2i → i = – c/(2a) (d/a) = – 2j → j = – d/(2a) (e/a) = (i2 + j2 – r2) → r2 = i2 + j2 – (e/a) r = V(i2 + j2 – e/a)

ELIPS Y Sumbu minor Panj latus rectum C ( 0 , b ) P ( x , y ) O X A ( a , 0 ) F1 ( - c , 0 ) F1 ( c , 0 ) Y P ( x , y ) D ( 0 , - b ) C ( 0 , b ) B ( a , 0 ) Panj latus rectum Sumbu minor Sumbu mayor F1 dan F2 : titik focus elips; A, B, C, D : titik puncak elips. AB : sumbu mayor; CD : sumbu minor; Pusat elips: O(0;0)

ELIPS Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu (F1 dan F2) adalah tetap. X O A ( a , 0 ) F1 ( - c , 0 ) F1 ( c , 0 ) Y P ( x , y ) D ( 0 , - b ) C ( 0 , b ) B ( a , 0 ) Panj latus rectum Sumbu minor Sumbu mayor      

Persamaan Elips dengan Pusat titik O(0;0): ELIPS HORIZONTAL: Elips yang berfokus pada sumbu-x: Pusat (0,0); Fokus F1 (-c,0) dan F2 (c,0) X O A ( a , 0 ) F1 ( - c , 0 ) F1 ( c , 0 ) Y P ( x , y ) D ( 0 , - b ) C ( 0 , b ) B ( a , 0 )

ELIPS VERTIKAL: Elipps yang berfokus pada sumbu-y :Pusat (0,0); Fokus F1 (0,-c) dan F2 (0,c) a –a b –b x y c –c Sumbu mayor

Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0) dengan sumbu mayor 10 satuan. Jawab : Fokus di F1 (-4,0) dan F2 (4,0) maka c = 4 ( fokus pada sumbu x ) Panjang sumbu mayor = 10, maka 2a = 10. Sehingga a = 5 Persamaan elipsnya : Jadi persamaan elipnya adalah

  =

Persamaan elips yang berpusat di P(α,β) Elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x, persamaan elipsnya adalah ELIPS HORIZONTAL Dengan : Pusat (α,β) Titik fokus di F1 (α-c, β) & F2(α+c, β) Titik puncak (α-a, β) & (α+a, β) Panjang sumbu mayor = 2a Panjang sumbu minor = 2b Persamaan direktriks

Persamaan elips yang berpusat di P(α,β) Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y, persamaan elipsnya adalah Persamaan elips yang berpusat di P(α,β) ELIPS VERTIKAL Dengan : Pusat (α,β) Titik fokus di F1 (α,β-c) & F2(α,β+c) Titik puncak (α,β-a) & (α,β+a) Panjang sumbu mayor=2a Panjang sumbu minor=2b Persamaan direktriks

Elips Tentukan pusat dan jari-jari elips 4x2 + y2 – 16x – 6y = – 9 (4x2 – 16x) + (y2 – 6y) = – 9 (4x2 – 16x + 16) + (y2 – 6y + 9) = – 9 +16 + 9 4(x2 – 4x + 4) + (y2 – 6y + 9) = 16 4(x – 2)2 + (y – 3)2 = 16 : 16 (x – 2)2 + (y – 3)2 = 1 22 42 i = 2; j = 3; r1 = 2; r2 = 4 Pusat elips (2; 3);

Elips Perpotongan dengan sumbu x → y = 0 4x2 + 0 – 16x – 0 = – 9 Perpotongan dengan sumbu y → x = 0 y2 – 6y = – 9  y2 – 6y + 9 = 0 (y – 3)2 = 0  y1 = y2 = 3

Parabola Parabola ialah tempat kedudukan titik- titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direkstris. Persamaan umum: ax2 + by2 + cx + dy + e = 0 dimana a = 0 atau b = 0 (tetapi tidak ke-dua2nya). y = ax2 + bx + c  sb simetri//sb vertikal x = ay2 + by + csb simetri//sb horizontal

y y x x y y x x direktriks Titik ekstrim fokus Sumbu simetri x x y = ax2 + bx + c dimana “a” > 0 y = ax2 + bx + c dimana “a” < 0 y y direktriks direktriks x x x = ay2 + by + c dimana “a” > 0 x = ay2 + by + c dimana “a” < 0

PARABOLA Parabola dengan garis simetri vertikal dan titik ekstrem (0, 0) Focus : (0,p). Garis directrix y=−p. Jarak titik fokus: |p| (Jarak dari titik pangkal ke titik fokus dan dari titik pangkal ke directrix). Titik (x, y) adalah sembarang titik pada kurva. Jarak dari titik (x,y) ke fokus (0,p) sama dg jaraknya ke direktrik.. Persamaan parabola menjadi sederhana bila dipilih asal 0 di M dan FT = sumbu y. Dengan hukum pythagoras : x2 + (y – p)2 = (y + p)2 x2 – 2yp = 2yp x2 = 4py y = ¼ px2 = ax2

Diketahui persamaan parabola y = x2/2 Diketahui persamaan parabola y = x2/2. Cari jarak titik fokus (p) dan direktriknya (y = - p). Jawab: Persamaan parabola pada vertikal axis y = x2/4p  x2/4p = x2/2  p = ½ Jadi, koordinat titik fokus (0,½) Garis direktrik y = - ½

Parabola dengan garis simetri horizontal dan titik ekstrem (0, 0).

Gambarkan dan cari persamaan parabola dimana titik fokus (– 2, 0) dan garis direktrik x = 2 Jawab: Persamaan parabola : y2 = 4px P = - 2  y2 = - 8x

Jika titik ekstrem (h, k) dengan garis simetri vertikal maka persamaan parabola : (x – h)2 = 4p(y – k) Bila parabola dipindahkan sejajar sehingga puncaknya tidak lagi 0 tetapi di M(h,k) maka: (x - h)2 = 4p(y - k) x2 - 2hx - 4py + (h2 + 4pk) = 0 Ax2 + Dx + Ey + F = 0 Cx2 + Dx + Ey + F = 0

TITIK EKSTREM (i, j): Persamaan Parabola: y = ax2 + bx + c i = – b 2a j = (b2 – 4ac) (-4a)

Jika garis simetri horizontal dan titik ekstrem (h, k) maka persamaan parabola : (y – k)2 = 4p(x – h)

Gambarkan kurva parabola : x2 = 14y Jawab: x2 = 4py dan x2 = 14y  4p = 14  P = 3½ Jadi, fokus (0, 3½) dan garis direktry y = - p = - 3½

Parabola Titik ekstrem ( i; j) = (- b/2a; (b2 – 4ac)/(- 4a) ) y j x i

Parabola y = – x2 + 6x – 2, tentukan titik ekstrem dan perpotongan dengan sumbu koordinat. a = - 1 < 0  parabola terbuka kebawah shg titik eksrem terletak diatas sebagai titik puncak. i = - b/2a = - 6/-2 = 3 j = (b2 – 4ac)/- 4a = (36 – 8)/4 = 7  Titik puncak (3; 7). Perpotongan dengan sumbu y  x = 0 y = 0 + 0 – 2 = - 2. Perpotongan dengan sumbu x  y = 0 x2 – 6x + 2 = 0  x1 = 5,65 ; x2 = 0,35

Parabola y = – x2 + 6x – 2, tentukan titik ekstrem dan perpotongan dengan sumbu koordinat.

y (3; 7) 7 0,35 5,65 3 x - 2

Soal: Biaya total y = 2x2 – 24x + 102 Titik ekstrim parabola: (x*, y*)  titik maximum atau titik minimum (x*, y*) = {- b/2a; (b2 – 4ac)/-4a} x* = -b/2a = 24/4 = 6 y* = 2(62) – 24(6) + 102 = 30 y* = (b2 – 4ac)/-4a = {(-24)2 – 4(2)(102)}/{- 4(2)} = (- 240)/(- 8) = 30

HIPERBOLA Hiperbola ialah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Sebuah hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus dan sepasang asimtot.

HIPERBOLA © y y asimtot (i,j) (i,j) asimtot Sumbu lintang x x Sumbu lintang Rumus Umum : Ax2 – Cy2 + Dx + Ey + F =0; dimana A berlawanan tanda dgn C.

Jika sumbu lintang // sumbu x: 1. Rumus baku hiperbola: 2. Persamaan asymtot: (i; j) adalah koordinat titik pusat hiperbola

Jika sumbu lintang // sumbu y: 1. Rumus baku hiperbola: 2. Persamaan asymtot: (i; j) adalah koordinat titik pusat hiperbola

Tentukan pusat, asymtot dan perpotongan dengan masing-2 sumbu koordinat, dari hiperbola: 16 x2 – 9 y2 – 64 x + 18 y – 89 = 0 Jawab: 16 x2 – 64 x + 64 – 9 y2 + 18 y – 9 = 89 + 64 – 9 16 (x2 – 4 x + 4) – 9 (y2 – 2y + 1) = 144 : 144 (x – 2)2 – (y – 1)2 = 1  i = 2; j = 1; m = 3; n = 4 32 42  sumbu lintang // dengan sumbu x. Pusat hiperbola (i; j) = (2; 1)

Asymtot: (x – 2) = ± (y – 1)  y – 1 = ± 4 (x – 2) 3 4 3 y = ± 4/3 (x – 2) + 1 y1 = 4/3 x – 5/3; y2 = - 4/3 x + 11/3 Jika x = 0  y = - 1,67 jika x = 0  y = 3,67 Jika y = 0  x = 1,25 jika y = 0  x = 2,75 Perpotongan dg sumbu x  y = 0 16 x2 – 64 x – 89 = 0  x1 = 5,09 dan x2 = - 1,09 Perpotongan dg sumbu y  x = 0 9 y2 – 18 y + 89 = 0  y1 = y2 ≡ bilangan khayal  tidak terdapat perpotongan dg sumbu y.

KURVA GOMPERTZ Model pertumbuhan variabel ekonomi dengaan variabeel terikat N tidak terus-menerus membesar tanpa batas maksimum. N = c art N = variabel yang diamati, r = tingkat pertumbuhan rata-rata (0 < r < 1) a = proporsi pertumbuhan awal c = batas jenuh pertumbuhan (asymtot atas) t = indeks waktu

Latihan Pertumbuhan jumlah pegawai sebuah perusahaan diperkirakan akan mengikuti kurva Gompertz Ditanyakan jumlah pegawai awalnya, pada akhirnya dan sesudah 3 tahun. Hitung harga dan kuantitas imbang (keseimbangan) kurva permintaan dan penawaran berikut : S = p2 +2p – 3 D = -p2 + 9 (Gambarkan)

QS = QD  p2 + 2p – 3 = -p2 + 9  2p2 + 2p – 12 = 0 1. t = 0  y = 1000 (0,01)0,50 y = 10 t = 3  y = 1000 (0,01)0,53 2. QS = p2 +2p – 3 QD = -p2 + 9 QS = QD  p2 + 2p – 3 = -p2 + 9  2p2 + 2p – 12 = 0 (p – 2) (2p + 6) = 0  p1 = 2; p2 = - 3 p = 2  Q = 5; p = - 3  Q = 0 http://rosihan.web.id

SELAMAT UJIAN TENGAH SEMESTER