GRUP Misalkan S Himpunan tak kosong sembarang, kita definisikan A(S) sebagai himpunan semua pemetaan satu-satu dan pada dari S ke S. Untuk setiap dua unsur , A(S) dapat diperkalikan, yang dinotasikan dengan dan kita akan menyelediki lebih lanjut ternyata fakta berikut adalah benar untuk elemen A(S)
GRUP Untuk sembarang , A(S) maka juga di A(S). Untuk tiga elemen ,,A(S), () = (). Terdapat A(S) yang memenuhi = = untuk setiap A(S). Untuk setiap A(S), terdapat anggota A(S) sedemikian sehingga
Definisi Suatu himpunan tak kosong dari G dikatakan membentuk grup jika dalam G dapat didefinisikan operasi biner, yang disebut dengan perkalian dan dinotasikan dengan ., sedemikian sehingga: jika a, b G maka a.b G Jika a,b,c G maka a.(b.c)=(a.b).c Terdapat suatu elemen e G sedemikian sehingga a.e = e.a = a untuk setiap a G Untuk setiap aG terdapat suatu elemen G sedemikian sehingga
Catatan Definisi Misalkan A himpunan tak kosong. Operasi biner * pada A adalah pemetaan dari setiap pasangan berurutan x,y dalam A dengan tepat satu anggota x*y dalam A
Catatan Operasi biner mempunyai dua bagian dari definisi yaitu : 1. Terdefinisikan dengan baik (well-defined) yaitu untuk setiap pasangan berurutan x,y dalam A dikawankan dengan tepat satu nilai x*y. 2. A tertutup dibawah operasi * yaitu setiap x,y dalam A maka x*y masih dalam A.
Catatan Operasi biner mempunyai dua bagian dari definisi yaitu : 1. Terdefinisikan dengan baik (well-defined) yaitu untuk setiap pasangan berurutan x,y dalam A dikawankan dengan tepat satu nilai x*y. 2. A tertutup dibawah operasi * yaitu setiap x,y dalam A maka x*y masih dalam A.
Definisi Suatu grup G dikatakan abelian (atau komutatif) jika untuk setiap a,b G, a.b=b.a
Catatan Banyaknya anggota dari grup G dinamakan orde dari G dan dinotasikan dengan (G). Orde G yang menarik diamati adalah yang berhingga
Contoh-Contoh Grup Misalkan G terdiri dari bilangan bulat 0, 1, 2, ... Dimana a.b diartikan sebagai penjumlahan, yakni a.b = a+b. G seperti ini membentuk Grup abelian tak berhingga. Misalkan G terdiri dari 1, -1 dengan operasi perkalian pada bilangan real. G ini adalah grup abelian dengan orde 2. Misalkan G = S3, grup dari semua pemetaan satu-satu dari himpunan {x1,x2,x3} pada dirinya sendiri, dibawa operasi komposisi adalah grup dengan order 6.
Contoh-Contoh Grup 4. Misalkan n sembarang bilangan bulat. Kita konstruksi grup dari orde n sebagai berikut : G terdiri dari semua simbol , i = 0, 1,2,...,n-1 dimana jika i+jn dan , jika i+j>n. Tunjukan bahwa himpunan seperti ini adalah grup. Grup seperti ini disebut grup siklis dengan orde n
Contoh-Contoh Grup 4. Misalkan n sembarang bilangan bulat. Kita konstruksi grup dari orde n sebagai berikut : G terdiri dari semua simbol , i = 0, 1,2,...,n-1 dimana jika i+jn dan , jika i+j>n. Tunjukan bahwa himpunan seperti ini adalah grup. Grup seperti ini disebut grup siklis dengan orde n
Contoh-Contoh Grup 5. Misalkan G adalah himpunan semua matriks 2x2 , dimana a,b,c,d bilangan real, sedemikian sehingga ad-bc 0. Untuk operasi dalam G gunakan operasi perkalian pada matriks. Tunjukan bahwa G seperti ini adalah grup.
Contoh-Contoh Grup 6. Misalkan G adalah himpunan semua matriks 2x2 , dimana a,b,c,d bilangan real, sedemikian sehingga ad-bc =1. Untuk operasi dalam G gunakan operasi perkalian pada matriks. Tunjukan bahwa G seperti ini adalah grup.
Contoh-Contoh Grup 7. Misalkan G adalah himpunan semua matriks 2x2 , dimana a,b bilangan real tidak keduanya nol. Untuk operasi dalam G gunakan operasi perkalian pada matriks. Tunjukan bahwa G seperti ini adalah grup.
Contoh-Contoh Grup 8. Misalkan G adalah himpunan semua matriks 2x2 , dimana a,b,c,d adalah bilangan bulat modulo p, dimana p prima sedemikian sehingga, ad-bc0. Untuk operasi dalam G gunakan operasi perkalian pada matriks. Tunjukan bahwa G seperti ini adalah grup.
Lemma Jika G adalah grup, maka Unsur identitas dari G adalah tunggal. Setiap a G mempunyai invers secara tunggal di G. Setiap aG, =a Untuk setiap a,b G,
Lemma Diberikan a,b dalam grup G, maka persamaan a.x=b dan y.a=b mempunyai solusi tunggal untuk x dan y dalam G. Khususnya, dua hukum pembatalan, jika a.u = a.w maka u = w dan jika u.a=w.a maka u = w Berlaku dalam G