SUB GRUP Definisi. Suatu sub himpunan tak kosong H dari Grup G dikatakan subgrup dari G, jika dengan operasi perkalian dalam G, H membentuk Grup.

Lemma 2.4.1 Suatu sub himpunan tak kosong H dari grup G adalah sub grup dari G jika dan hanya jika Jika a, b H maka ab H Jika a H maka H

Lemma 2.4.2 Jika H adalah sub himpunan tak kosong hingga dari grup G dan H tertutup terhadap operasi perkalian, maka H adalah Sub Grup dari G.

Contoh Misalkan G grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan, H sub himpunan yang terdiri dari kelipatan 5. Tunjukan bahwa H sub grup dari G. Misalkan G grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan. H(n) sub himpunan dari G yang terdiri kelipatan n. H(n) sub grup untuk setiap n. Apa yang dapat dikatakan dengan H(n)H(m)?

Contoh 3. Misalkan S sembarang himpunan, A(S) himpunan dari pemetaan yang bersifat satu-satu dan pada dari S pada S. Jika x0 S, misalkan H(x0)={A(S): (x0)=x0}. H(x0) adalah sub grup dari A(S). Jika x1  x0 S kita definisikan dengan cara yang sama H(x1), H(x0) H(x1) sub grup dari A(S) 4. Misalkan G grup, aG. Misalkan (a)={ai:i bilangan bulat}. (a) adalah sub grup dari G 5. Misalkan G grup bilangan real tak nol terhadap operasi perkalian, dan misalkan H sub himpunan dari bilangan rasional positif. Maka H sub grup dari G

Contoh 6. Misalkan G grup dari matriks bilangan real 2x2, dengan ad-bc  0 dibawah operasi perkalian matriks. Misalkan maka H adalah sub grup dari G. Misalkan H Grup seperti pada contoh 6, dan maka K sub grup dari H. Misalkan G grup dari semua bilangan kompleks tak nol a+bi (a,b bilangan real tidak keduanya nol) dibawah operasi perkalian, dan misalkan H={a+biG:a2 + b2 =1}. Tunjukan bahwa H sub grup dari G

definisi Misalkan G grup, H sub grup dari G; untuk a,bG kita katakan a kongruen b mod H, ditulis ab mod H jika ab-1H

Relasi ab mod H adalah relasi ekivalen Lemma Relasi ab mod H adalah relasi ekivalen

definisi Jika H adalah sub grup dari G, aG, maka Ha={ha:hH}. Ha disebut koset kanan dari H dalam G.

lemma 1. Untuk setiap aG, Ha={xG:ax mod H}. 2. Terdapat korespondensi satu-satu diantara dua koset kanan dari H dalam G. 3. Jika G adalah Grup Hingga dan H sub grup dari G, maka (H) adalah membagi (G).

definisi Jika H adalah sub grup dari G, maka index dari H dalam G adalah banyak koset kanan yang berbeda dari H dalam G. (notasi iG(H)) Jika G grup dan aG, maka order (atau periode) dari a adalah bilangan positif terkecil m sedemikian sehingga am=e.

akibat Jika G adalah grup hingga dan aG, maka (a)(G). Jika G adalah grup hingga dan aG, maka a(G)=e Jika n bilangan bulat positif dan a adalah relatif prim ke n, maka a(n) 1 mod n Jika p bilangan prima dan a sembarang bilangan bulat, maka ap a mod p. Jika G grup hingga yang mempunyai orde suatu bilangan prima, maka G adalah grup siklis.

A counting principle Misalakan H, K subgrup dari G. HK adalah subgrup dari G jika dan hanya jika HK=KH Jika H, K adalah subgrup dari grup komutatif, maka HK adalah subgrup dari G. Jika H dan K subgrup hingga dari G dengan orde (H) dan (K) masing- masing, maka Jika H dan K adalah subgrup dari G dan (H)> , (K)> , maka

Subgrup normal dan grup hasil bagi DEFINISI Subgrup N dari G dikatakan subgrup normal dari G jika untuk setiap gG dan nN, gng-1N

Lemma N adalah sub grup normal dari G jika dan hanya jika gNg-1=N untuk setiap gG. Subgrup N dari G adalah subgrup normal dari G jika dan hanya jika setiap koset kiri dari N dalam G adalah koset kanan dari N dalam G. Suatu subgrup N dari G adalah subgrup normal dari G jika dan hanya jika perkalian dari dua koset kanan dari N dalam G adalah juga koset kanan dari N dalam G

teorema Jika G adalah grup, N subgrup normal dari G, Maka G/N adalah juga grup. Grup seperti ini disebut grup hasil bagi atau grup faktor

lemma Jika G adalah grup hingga dan N adalah subgrup Normal dari G, maka (G/N)=(G)/(N).