QUIZ Diketahui vektor a, b, dan c: Gambarkan: a – b + 2c dan 3c – 2a + b Buktikan bahwa vektor-vektor a = 3i – 2j + k, b = i – 3j +5k, dan c = 2i +j – 4k membentuk sebuah segitiga siku-siku.

PERSAMAAN GARIS DAN BIDANG

,lihat gambar samping. Hukum penjumlahan vektor memberikan l Persamaan Garis Bagaimana menentukan persamaan garis l yang melalui titik P(x0,y0,z0) yang sejajar suatu vektor v? Misalkan Q(x,y,z) adalah sembarang titik pada l, misalkan r0 dan r adalah vektor-vektor posisi dari P dan Q. Jika a adalah vektor representasi ,lihat gambar samping. Hukum penjumlahan vektor memberikan Q(x,y,z) z a P(x0,y0,z0) l r0 r v x r = r0 + a y Karena a dan v sejajar, maka terdapat t sehingga a = tv, sehingga r = r0 + tv Persamaan vektor dari garis

Jika v = a, b, c, r = x, y, z dan r0 = x0, y0, z0, maka persamaan di atas memberikan x= x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc yang disebut persamaan parametrik dari garis melalui titik P(x0, y0, z0) dengan bilangan arah v = a, b, c. Dengan menyelesaikan t dari persamaan parametrik, memberikan yang disebut persamaan simetri dari garis melalui titik P(x0, y0, z0) dgn bilangan arah v = a, b, c.

Persamaan Bidang Sebuah bidang di ruang ditentukan oleh sebuah titik P(x0, y0, z0) dan sebuah vektor n yang tegak lurus terhadap bidang itu (vektor normal). z n Misalkan Q(x,y,z) adalah sembarang titik pada bidang, misalkan r0 dan r adalah vektor-vektor posisi dari P dan Q. Vektor r – r0 dinyatakan oleh . Vektor normal n tegak lurus thd setiap vektor pada bidang, khususnya r – r0 sehingga Q(x,y,z) r – r0 r P(x0,y0,z0) r0 x y n  (r – r0) = 0 Persamaan vektor dari bidang

a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0 Jika n = a, b, c, r = x, y, z dan r0 = x0, y0, z0, maka persamaan di atas menjadi a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0 Persamaan ini disebut persamaan skalar dari bidang yang melalui titik P(x0, y0, z0) dengan vektor normal n = a, b, c. Persamaan di atas dapat dituliskan sebagai persamaan linear ax + by + cz + d = 0

Latihan: Carilah persamaan garis melalui titik (5, 1, 3) yang searah vektor v = 3i – 5j + 2k. Kemudian carilah dua titik lainnya pada garis tersebut. Carilah persamaan bidang yang melalui titik (2,4,-1) dengan vektor normal n = 2,3,4. Kemudian tentukan titik potongnya dengan sumbu koordinat. Carilah persamaan bidang yang melalui titik P(1,3,2), Q(3,-1,6), dan R(5,2,0). Carilah titik potong garis x = 2 + 3t, y = -4t, z = 5 + t memotong bidang 4x + 5y – 2z = 18.

PR: Carilah persamaan garis melalui titik (2, 4, -3) dan (3, -1, 1). Dimanakah garis ini memotong bidang-xy? Dimanakah memotong bidang x – 2y + 3z = 5. Tunjukkan bahwa dua garis berikut bersilangan (tidak berpotongan): x = 1 + t y = -2 +3t z = 4 – t x = 2s y = 3 + s z = -3 + 4s Carilah sudut antara bidang x + y + z = 1 dan x – 2y + 3z = 1. Kemudian carilah persamaan garis perpotongan antara kedua bidang ini

Carilah jarak antara dua garis Carilah rumus untuk jarak dari titik Q(x1,y1,z1) ke bidang ax + by + cz + d = 0. Carilah jarak antara dua bidang sejajar 10x + 2y – 2z = 5 dan 5x + y – z =1. Carilah jarak antara dua garis x = 1 + t y = -2 +3t z = 4 – t x = 2s y = 3 + s z = -3 + 4s Q(x1,y1,z1) b n P(x0,y0,z0)