Operations Management William J. Stevenson Operations Management 8th edition OPERATIONS RESEARCH DUALITAS

Teori Dualitas Istilah dualitas menunjuk pada kenyataan bahwa setiap linier programming terdiri atas dua bentuk Bentuk pertama atau asli dinamakan primal Bentuk kedua yang berhubungan dinamakan dual Sehingga, suatu solusi terhadap LP yang asli, juga memberikan solusi pada bentuk dualnya

Contoh Kasus Kembali pada contoh pada bahasan Metode Grafik, dan penyelesaian menggunakan metode Simpleks

Hubungan primal-dual Primal Dual Batasan i Variabel i Fungsi Tujuan Nilai Kanan Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan dual Konstanta ruas kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual

(masalah primal) Tabel primal-dual Contoh : Merek Mesin I1 I2 Kapasitas Maksimum 1 2 8 3 15 6 5 30 Sumbangan laba Tabel primal-dual Merek Mesin X1 X2 Y1 2 ≤ 8 Y2 3 ≤ 15 Y3 6 5 ≤ 30 ≥ 3 ≥ 5

Fungsi primal-dual Tabel primal-dual Merek Mesin X1 X2 Y1 2 ≤ 8 Y2 3 ≤ 8 Y2 3 ≤ 15 Y3 6 5 ≤ 30 ≥ 3 ≥ 5 Fungsi primal-dual Kunci 1 Tujuan : Maks Z = 3X1 + 5X2 Batasan : 2X1  8 3X2  15 6X1 + 5X2  30 dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 Tujuan : Min Y = 8Y1 + 15Y2 + 30Y3 Batasan : 2Y1 + 6 Y3 ≥ 3 3Y2 + 5 Y3 ≥ 5 dan Y1 ≥ 0, Y2 ≥ 0, Y3 ≥ 0 Batasan i Variabel i Kunci 2 Fungsi Tujuan Nilai Kanan

Apabila masalah dual tersebut diselesaikan maka akan diperoleh Y1 = 0, Y2 = 5/6, Y3 = ½ Angka-angka tersebut adalah koefisien slack variable pada baris pertama tabel simpleks bagian terakhir (optimal) Jadi, dual dapat dipakai unuk memeriksa kembali tabel optimal pada masalah primal Nilai Y, dapat diinterpretasikan bahwa setiap satuan masing-masing sumber (Y1=mesin 1, Y2=mesin 2, Y3=mesin 3) menyumbang Rp 0, Rp 5/6 dan Rp ½ terhadap laba total sebesar 27 ½

Dalam solusi optimum primal dan dual, dapat disimpulkan bahwa Maksimum Z = Minimum Y = 27 ½ Z = 3X1 + 5X2 27 ½ = 3 (5/6) + 5 (5) sama dengan Y = 8Y1 + 15Y2 + 30Y3 27 ½ = 8 (0) + 15 (5/6) + 30 (1/2)

Dengan demikian, teori dualitas sangat berguna dalam penerapan metode linier programming dengan manfaatnya yaitu : 1. Untuk menginterpretasikan (terutama dalam artian ekonomis) angka-angka yang terdapat pada tabel optimal dari masalah primal 2. Untuk memeriksa kembali apakah ada kesalahan-kesalahan dalam melakukan perubahan-perubahan pada setiap langkah dalam menggunakan metode simpleks bagi masalah primal

Ayo kita kerjakan Maksimumkan Z = 5 x1 + 12 x2 + 10 x3 Kendala = x1 + 4 x2 + x3 ≤ 10 2 x1 + x2 + 3 x3 ≤ 15 x1, x2, x3 ≥ 0 Maksimumkan Z = 5 x1 + 2 x2 Kendala = -x1 + x2 ≥ 3 2 x1 + 3 x2 ≥ 5 x1, x2 ≥ 0 Maksimumkan Z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3 Kendala = x1 + 2 x2 + x3 ≤ 10 4 x1 - x2 + 3 x3 ≤ 8 x1, x2, x3 ≥ 0 Maksimumkan Z = 5 x1 + 6 x2 Kendala = x1 + 2 x2 ≤ 5 - x1 + 5 x2 ≤ 3 4 x1 + 7 x2 ≤ 8 x1, x2 ≥ 0