PERTEMUAN 6 KEKONTINUAN UNIFORM
Sasaran Pengkajian mengenai Kekontinuan Uniform. Juga dikaji cotoh-contoh dan latihan soal-soal yang berbobot dan menarik.
Pokok Bahasan Kekontinuan Uniform
Teorema Untuk fungsi f: D R dan titik x0 dalam D, dua pernyataan di bawah ini adalah ekivalen. (i) Fungsi f: D R kontinu di x0. (ii) Untuk setiap >0 terdapat >0 sedemikian hingga |f(x)-f(x0)| < untuk semua titik – titik x dalam D di mana |x – x0|<.
Gambar
Contoh Diberikan f(x)=x3 dari R ke R. Akan dibuktikan bahwa fungsi f kontinu di x0=2 menggunakan kriteria – . Ambil sebarang > 0. Maka |x3 – 8| = |(x-2)(x2+2x+4)| |x-2| ( |x|2 + 2|x| + 4 ) untuk semua x dalam R. Tetapi, |x|2+2|x|+419 untuk 1<x<3 sehingga |x3-8| 19 |x-2| bila 1<x<3. Ambil =min{1, /19 }. Bila |x-2|< maka x dalam interval (1,3) dan 19|x-2|< sehingga |x3–8|<. Jadi f kontinu di x0=2.
Definisi Fungsi f: D R disebut kontinu uniform bila untuk setiap >0 terdapat >0 sedemikian sehingga |f(u) – f(v)|< untuk semua titik – titik u dan v dalam D di mana |u-v|<. Jelas bahwa fungsi f: D R kontinu uniform bila dan hanya bila f kontinu dan untuk setiap x0 dalam D, pemilihan =() tidak bergantung pada titik x0 dalam D.
Contoh Fungsi f(x) = x3 dari [0,20] ke R adalah kontinu uniform, karena: |f(u)–f(v)| = |u2+uv+v2| |u–v|1200|u–v| di mana u,v dalam [0,20]. Bila diambil >0, maka =()= /1200 memenuhi.
Gambar
Contoh Fungsi f(x)=1/x dari (0,1) ke R adalah kontinu. Tetapi tidak kontinu uniform. Ambil 0=1. Andaikan terdapat >0 sedemikian sehingga untuk semua u dan v dalam (0,1) di mana |u-v|<. Ambil u dalam (0,1), 0 < u < , v = . Maka |u–v| = u/2 <, tetapi |f(u)- f(v)|= >1. Jadi f tidak kontinu uniform.
Misalkan fungsi f:[a,b] R kontinu. Maka f adalah kontinu uniform. Teorema Misalkan fungsi f:[a,b] R kontinu. Maka f adalah kontinu uniform.