第十章 曲线回归
本章介绍可以直线化的曲线回归的类型，以 生长型曲线为例说明曲线的直线化配合， 曲线回归方程的拟合度
第一节 曲线回归的意义
直线回归的局限 1 、两变量之间的关系不完全是直线关系 2 、简单相关不显著并不表示两变量间无相关 3 、两变量间更普遍的关系是曲线关系 4 、直线回归仅是曲线回归的一种特殊形式 5 、直线回归是曲线回归中的一部分
曲线配合的一般步骤： 1 、确定回归关系的类型：线性 非线性（曲线形状） 2 、确定回归关系的参数、相关指数、估计标准误 3 、对所得回归方程作显著性检验 曲线方程可分为两种： 可直线化的曲线方程 不可直线化的曲线方程（多项式） 因此，首先应确定两变量的曲线关系是哪一种
第二节 曲线类型及其方程
本章仅讨论可以直线化的曲线方程 —— 函数型曲线方程 （一）幂函数 直线化：两边取对数： 令： 则有： 对 求 A 和 b ， 并得 即可得： a 、 b ，建立方程 （双对数转换，即对 x 、 y 均求对数后输入）
（二）指数函数 或 直线化：两边取对数： 令： 则有 对 求 A 并得 即可得 a 、 b ，建立方程 （单对数变换，即对 y 求对数后与 x 一起输入）
（三）双曲线函数 令： 则 对 x 求 X 即可得 中的 a 、 b （倒数变换，即取 x 的倒数，与 y 一起输入） 此外还有一些曲线方程： 下面是几种可以转换为直线方程的曲线函数图形：
曲线回归的计算器计算方法： 计算器将出现如下画面： mode3 Lin Log Exp >< Pwr Inv Quad 1 2 3
（ Lin ） 线性回归： （ Log ）对数回归： （ Exp ）指数回归： （ Pwr ）幂函数回归： （ inv ） 双曲线回归： （ Quad ）抛物线回归： > >2 >3
（四） S 型曲线 陆生、水生动物的种群增长、微生物种群增长、细 胞的生（增）长等都是这一模式 因此， S 型曲线又称为生长型曲线、 logistic 曲线， 其变换形式有以下几种：
类似的生长型曲线还有 Gompertz 曲线： 其变换形式： Bertalanffy 曲线：
在这些曲线方程中，无一例外的都有 3 个需要计算的 统计量： k 、 a 、 b 所 K 是当 x 趋向于 +∞ 时 y 所能达到的最大值，往往是 未知的，因此也是需要进行计算的 这是生长曲线与其他可以直线化的曲线方程不同的 地方 这些曲线方程中的 x 往往是时间单位，因此一般可 用 t 表示，而 y 往往是群体的增长量，或群体增 长倍数，所以也可以用 N 表示 我们这里仅对典型的 S 型曲线方程进行直线化，其 他变换类型的方程直线化可以仿此进行
测得某微生物在一定温度下随时间变化的平均增长量 数据如下： 时 间 t 增长倍数 N 从下面的散点图我们可以看出，可配合 S 型曲线：
我们采用生长曲线的一般形式 进行配合 变换，两边取对数，得： 并令： 从数据表中取三个等距的点代入上式（一般总取始 点、中点、末点）： （ 1 ， 1.3 ）、（ 5 ， 6.8 ）、（ 9 ， 9.5 ）
解这一三元一次方程组，消去 a 、 b ，得： 则 这是一个通式，任何配置 S 型曲线的数据资料均可 使用这一公式求得 k 值 将上式中的 代入 式，得 即为 k 的解 将 k=9.78 代入 可得和 t 相对应的各个 Y 值
将这些 Y 值写在数据表下方对应处，用最小二乘配置法 配置直线 时 间 t 增长倍数 N
得一级数据： 或将时间 t 和 Y 值输入计算器直接进行计算
则 将 k 、 a 、 b 代入方程，即得： 或：
在这一类例子中，时间往往是有效单位时间，如一 周、一月、一年、一个时间段等，如需换算成具 体时间如天、小时、分等，则需将其换算值代入 t 值即可 另外，在一般的通式中，我们往往以 x 、 y 作为自变 量和依变量的符号，但在具体问题中，有时为了 更形象、更直观地说明问题，可以用其他不同的 字母（往往是相应的英文名词的首写字母）来代 替
如长度用 L 、时间用 t 、增重倍数用 N 、体重用 W 等 用统计软件进行计算时，可直接将原始数据输入数 据库，调用相应的程序运算即可
第三节 曲线配合的拟合度
曲线配合完成，其方程是否理想，同一批数据采用 不同的曲线方程进行拟合，其效果如何，哪一种 方程更好，可以用曲线方程的拟合度来衡量 曲线方程的拟合度就是相关指数 R 2 离回归平方和 Q （实测值与预测值之差的平方和， 即剩余回归平方和）在总平方和中所占的比例越 小，说明方程的效果越好，因此可以用剩余回归 平方和在总平方和中的比例来表示曲线配合的好 坏：
在曲线回归方程中，我们必须实际求得每一个 ，然 后求出 ，而不能象简单回归一样可以用有关 公式求出 在上例中： t N
R 2 的平方根 R 称为相关系数，为了和简单相关系数 r 有所区别，曲线回归方程和多元回归方程的相关 系数称为复相关系数，写为 R 拟合度得到后，同样需要进行显著性检验，检验的 方法还是查 r 表 本例中，变量个数为 m = 2 ，自由度 df = 7 ，因此
同一批数据如果拟合了多条曲线回归方程，应当将 每一条曲线方程的相关系数相比较，原则上哪一 个曲线方程的相关系数大，哪一个曲线方程就是 最好的，当然还应当结合专业知识来进行判断 （ * ）
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