Pertemuan 12 Geometri Projektif
Sasaran Pengkajian tentang Koordinat-koordinat Projektif (lanjutan)
Pokok Bahasan Koordinat-koordinat Projektif (lanjutan)
Garis Projektif Kompleks Garis projektif kompleks P1( C ), adalah himpunan titik-titik dengan koordinat homogen (zo, z1), di mana zj bilangan kompleks. Bila z1 tidak nol, maka (zo, z1) =(zo/z1, 1), sehingga P1( C ) adalah bidang kompleks dengan titik single (1, 0) di tak berhingga.
Catatan 1. Titik z pada C dapat disajikan pada P1( C ) dengan (z, 1). Dapat diturunkan bahwa (az + b, cz + d) = ((az+b)/(cz+d), 1), di mana cz+d tidak nol. 2. Hasil bagi silang (cross ratio) dari empat titik A, B, C, D pada P2 adalah (A, B; C, D) = ((AoC1-A1Co)(BoD1-B1Do), (AoD1-A1Do)(BoC1-B1Co))
Teorema Teorema 8.1 Misalkan A, B, C, D adalah empat titik pada P2( R ), tiga dari mereka tidak segaris. Misalkan A’, B’, C’, D’ adalah empat titik yang lain pada P2( R ), tiga dari mereka tidak segaris. Maka terdapat T dalam GL3( R ) sedemikian sehingga T(A) = A’, T(B) = B’, T( C ) = C’, T( D) = D’.
Bukti Teorema 8.1 Garis Besar Terdapat a, b, c, sedemikian sehingga D = aA + bB + cC. Secara sama, terdapat a’, b’, c’, sedemikian sehingga D’ = a’A’ + b’B’ + c’C ‘.
Bukti Teorema 8.1 (lanjutan) Terdapat mapping linier T yang membawa vektor- vektor basis aA, bB, cC berturut-turut ke vektor- vektor basis a’A’, b’B’, c’C’. Mapping T membawa D ke D’ sesuai dengan yang diinginkan. Dengan menulis A’ = (a’/a)A’ maka T( A ) = T(aA)/a = a’A’/a = A’. Secara sama, T( B ) = B’ dan T( C )= C’.