KALKULUS ”LIMIT DAN KONTINUITAS” Disusun Oleh : APRILIA RATNASARI (13310181) 3F Pend. Matematika

Secara umum limit fungsi dapat ditulis dengan Limit dan kontinuitas Secara umum limit fungsi dapat ditulis dengan

Definisi limit fungsi dua variabel Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa untuk setiap (betapapun kecilnya) terdapat yang berpadanan sedemikian sehingga asalkan bahwa .

. Contoh Penyelesaian Hitunglah nilai Langkah 1: mencari limit Langkah 2 : perhatikan fungsi Langkah 3 : substitusikan titik (-2,1) ke fungsi Penyelesaian

Maka = = -2.1 – (-2) + 3.1 = -2 + 2 + 3 = 3 jadi nilai adalah 3

Teorema A Jika f(x,y) adalah polinomial, maka Dan jika , dengan p dan q polinomial, maka Asalkan . Lebih lanjut, jika dan Maka Tidak ada.

. Hitunglah nilai Langkah 1: mencari limit Contoh . Hitunglah nilai Langkah 1: mencari limit Langkah 2 : perhatikan fungsi Langkah 3 : substitusikan titik (-1,2) ke fungsi Maka = = (tidak punya limit) Jadi nilai adalah limit diatas karena limit penyebutnya sama dengan 0, sedangkan limit pembilangnya -27. Sehingga menurut teorema A limit ini tidak ada jadi tidak punya limit. penyelesaian

. Tentukan Langkah 1 : Mencari limit f(x,y) Aturan L’Hospital . Tentukan Langkah 1 : Mencari limit f(x,y) Langkah 2 : Perhatikan untuk (x,y) mendekati titik (3,1) Langkah 3 : substituskan titik (3,1) ke fungsi Maka = Limit diatas mempunyai bentuk 0/0 sehingga menggunakan aturan L’HOPITAL Maka Langkah 1 : Mencari limit f(x,y) Langkah 2 : Perhatikan untuk f(x,y) mendekati titik (3,1) Langkah 3 : Menentukan turunan pertama dari lim f(x,y) = Langkah 4 : substitusikan titik (3,1) ke turunan pertama dari lim f(x,y) Maka = = = Jadi nilai adalah 3/2 (dengan menggunakan aturan L’HOPITAL). Penyelesaian

Kontinuitas pada suatu titik f(x,y) dikatakan kontinu dititik (a,b) jika memenuhi syarat, yaitu 1. mempunyai nilai di (a,b) 2. mempunyai limit (a,b) 3. Nilai di (a,b) sama dengan limit di sana kesimpulanya

. Selidiki apakah fungsi f(x,y) = x2 + y2 kontinu di titik (2,1) Contoh Selidiki apakah fungsi f(x,y) = x2 + y2 kontinu di titik (2,1) Langkah 1 : Menentukan nilai di f (2,1) f(2,1) = 5 ada Langkah 2 : Mencari lim f(x,y) dititik (2,1) = = 4 + 1 = 5 Langkah 3 : Menyelidiki apakah nilai f(2,1) sama dengan lim f(2,1) 5 = 5 karena ketiga sifat kontinu dipenuhi maka fungsi f kontinu di titik (2,1) Penyelesaian

Teorema B Komposisi fungsi Jika sebuah fungsi dua variabel g kontinu di (a,b) dan sebuah fungsi satu variabel f kontinu di g(a,b), maka fungsi komposisi yang didefinisikan oleh adalah kontinu di (a,b).  

. Contoh Diketahui fungsi dititik (3,2) dan fungsi . Tentukan apakah gof kontinu di (a,b) Langkah 1 : Membuktikan g kontinu di (a,b) Untuk membuktikan g kontinu di (a,b) langkahnya adalah - Langkah 1 : mancari nilai g(a,b) dititik (3,2) = 31 - Langkah 2 : mencari limit g(x,y) yang mendekati titik (3,2) = 31 Penyelesaian

. - Langkah 3 : menyelidiki apakah nilai g(a,b) sama dengan limit g(a,b) g(a,b) = 31 = 31 Karena ketiga sifat kontinuitas dipenuhi maka fungsi g(a,b) kontinu dititik (3,2). Langkah 2 : membuktikan f(x) kontinu di g(a,b) Untuk membuktikan f(x) kontinu di g(a,b) Langkah 1 : menentukan nilai f(x) di g(a,b) =964 - Langkah 2 : menentukan limit f(x) di g(a,b) = 964 Langkah 3 : menyelidiki apakah nilai f(x) sama dengan limit f(x) di g(a,b) .f(x) = 964 = 964 Karena ketiga syarat kontinuitas terpenuhi maka fungsi f(x) kontinu dig(a,b) Langkah 3 : karena f(x) kontinu di g(a,b) sehingga fog(x,y) adalah kontinu di (a,b)

Kontinuitas pada himpunan Sketsakan himpunan , uraikan perbatasannya, serta nyatakan apakah himpunan adalah terbuka, tertutub dan bukan keduanya. Langkah 1 : perhatikan himpunan Langkah 2 : buatlah sketsahimpunan yang ditunjuk Contoh Penyelesaian

Langkah 3 : uraikan perbatasan himpunan dengan melihat himpunan Sehingga Perbatasan terdiri dari garis putus-putus pada garis x = 1 bersama dengan garis putus-putus pada garis x = 4. Batas atas : Batas bawah : x < 1 Langkah 4 : nyatakan apakah himpunan adalah terbuka, tertutup, atau bukan keduanya. Dengan memperhatikan tanda (<) dan pada himpunan dapat disimpulkan bahwa himpunan ini adalah tidak himpunan tertutup atau terbuka.

Terimakasih