Pertemuan 16 Geometri Projektif
Sasaran Pengkajian tentang Koordinat-koordinat Luas
Pokok Bahasan Koordinat-koordinat Luas
Pendahuluan Titik P pada bidang Euklid ditentukan koordinat luasnya P = (Po, P1, P2) terhadap referensi nondegenerate segitiga ABC. Sistem koordinat ini disebut sistem koordinat luas. Dalam hal ini, A=(1, 0, 0), B=(0, 1, 0), C=(0, 0, 1).
Lanjutan Pandang bidang Euklid yang disajikan dengan bidang z = 1 dalam R3. Dalam hal ini titik P disajikan dengan P = (p1, p2, 1). Karena segitiga ABC nondegenerate, terdapat mapping tunggal T dalam GL3( R ) sedemikian sehingga T(A) = (1, 0, 0), T(B) = (0, 1, 0), T( C ) = (0, 0, 1).
Lemma 11.1 Luas bertanda dari segitiga sembarang ABC pada bidang z = 1 dalam R3 diberikan dalam bentuk setengah determinan di mana determinan tersebut mempunyai sifat berikut. Baris 1: a1, b1, c1, baris 2: a2, b2, c2, baris 3: 1, 1, 1.
Bukti Lemma 11.1 Garis besar Perlu diingat bahwa dengan definisi hasil kali vektor dan hasil kali skalar dari vektor-vektor didapat: A. (B x C) = +- |A| |B| |C| sin s cos t, di mana s sudut antara B dan C, dan t sudut antara A dengan normalnya B dan C.
Lanjutan Dapat juga dipandang volume V sebagai luas segitiga ABC dikalikan dengan sepertiga dari jarak bidang z = 1 ke O. Jadi V = |(1/3) luas segitiga ABC|. Akhirnya dengan mengingat aturan dari determinan, diperoleh hasil bahwa:
Lanjutan Luas segitiga ABC adalah setengah determinan di mana determinan tersebut mempunyai sifat bahwa baris 1: a1, b1, c1, baris 2: a2, b2, c2, baris 3: 1, 1, 1, sesuai dengan yang harus dibuktikan.