5. RANTAI MARKOV WAKTU DISKRIT

Presentasi berjudul: "5. RANTAI MARKOV WAKTU DISKRIT"— Transcript presentasi:

1 5. RANTAI MARKOV WAKTU DISKRIT
Prostok-5-firda

2 5.1 Definisi Misal proses stokastik dengan
indeks parameter diskrit dan ruang keadaan memenuhi (5.1) maka proses dinamakan Rantai Markov parameter diskrit, dan disebut peluang transisi. Prostok-5-firda

3 n (n = 0,1,2,…). Catat bahwa, menyatakan proses berada
dalam keadaan i (i = 0 ,1, 2,…) pada waktu n (n = 0,1,2,…). 2. Nama rantai Markov ini diambil dari nama Andrei Markov ( ) yang pertama meneliti kelakuan proses stokastik tersebut setelah proses dalam selang waktu yang panjang. Prostok-5-firda

4 3. Peluang bersyarat pada (5.1) menggambarkan
histori keseluruhan, proses hanya tergantung pada keadaan sekarang X(n)=i, bebas dari waktu lampau, 0,1,2,…,n-1. Artinya, peluang bersyarat dari keadaan “mendatang” hanya tergantung dari keadaan “sekarang” dan bebas dari keadaan “yang lalu”. Sifat ini disebut sifat Markov atau Memory Less. Prostok-5-firda

5 Peluang transisi dari keadaan i ke keadaan j
( ) persamaan (5.1) hanya bergantung pada waktu sekarang, secara umum. Apabila peluang transisi bebas dari waktu n, maka disebut peluang transisi stasioner, dan rantai Markov disebut dengan Rantai Markov dengan peluang transisi stasioner. dan disebut juga, Rantai Markov Homogen. Prostok-5-firda

6 5.2 Contoh Rantai Markov 1. Barisan bilangan bulat.
2. Barisan variabel-variabel acak bernilai bilangan bulat yang saling bebas dan mempunyai distribusi peluang yang sama. 3. Random Walks yang didefinisikan sebagai Random Walks adalah proses melangkah dari suatu objek di garis bilangan dimana objek itu dapat bergerak ke kiri atau ke kanan. Prostok-5-firda

7 Akan ditunjukkan bahwa random walks (contoh 3) adalah rantai Markov.
Perhatikan random walks yang hanya dapat bergerak ke kanan; Sifat di atas berlaku untuk semua n dan kombinasi Jadi, adalah rantai Markov. Prostok-5-firda

8 5.3 Matriks peluang transisi
Misalkan adalah rantai Markov Homogen dengan ruang keadaan tak hingga, maka (5.2) menyatakan peluang transisi satu langkah dari keadaan i ke keadaan j . Prostok-5-firda

9 Matriks peluang transisi satu langkah dari
didefinisikan sebagai Prostok-5-firda

10 Dalam kasus ruang keadaan i berhingga, i=0,1,…,m Maka P berukuran
Prostok-5-firda

11 Contoh: Matriks peluang transisi untuk rantai markov dua keadaan :
dua keadaan secara umum : Prostok-5-firda

12 3. Matriks peluang transisi untuk rantai markov empat keadaan :
Prostok-5-firda

13 5.4 Diagram Transisi Rantai Markov dapat direpresentasikan sebagai
suatu graf dengan himpunan verteksnya ruang keadaan dan peluang-peluang transisi digambarkan sebagai himpunan sisi yang berarah dengan bobot sisi menyatakan peluanngya. Graf yang merepresentasikan rantai Markov tersebut dinamakan diagram transisi dari rantai Markov tersebut. Prostok-5-firda

14 Contoh : 1. Diagram transisi dari contoh 1, dengan
matriks peluang transisi 1 1 1 Catatan: lingkaran menyatakan state (keadaan), arah panah menyatakan peluang transisi dari keadaan i ke keadaan j. Prostok-5-firda

15 2. Diagram transisi dari contoh 2, dengan matriks peluang transisi
dimana a 1 1-b 1-a b Prostok-5-firda

16 3. Misal di suatu daerah beredar dua sampo,
yakni sampo A dan B. Suatu lembaga mengadakan survey penggunaan sampo, survey pertama mengatakan 40% orang daerah itu menggunakan sampo A dan 60 % menggunakan sampo B. Survey kedua mengatakan setiap minggunya, 15 % pengguna sampo A beralih ke B dan 5 % pengguna sampo B beralih ke A. Asumsikan jumlah pengguna sampo di daerah itu tetap. Buat mariks peluang transisi dan diagram transisi dari masalah tersebut. Prostok-5-firda

17 menyatakan sampo yang digunakan setiap minggu ke-n. Maka rantai Markov
Jawab: Misal menyatakan sampo yang digunakan setiap minggu ke-n. Maka rantai Markov dengan ruang parameter {1,2,…,n,…} dan ruang keadaan Matriks peluang transisinya: Prostok-5-firda

18 Diagram transisinya : 0.15 A B 0.95 0.85 0.05 Prostok-5-firda

19 Latihan: 1. Seorang pemandu wisata yang berkantor di
Jakarta bertugas mengantar wisatawan ke Bandung setiap minggunya. Jika diamati posisi pemandu wisata tersebut dalam 10 minggu seperti tabel berikut; Mgg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Kota J B Prostok-5-firda

20 a. Tentukan matriks peluang transisi dari posisi si pemandu wisata
b. Gambarkan diagram transisinya c. Tentukan peluang transisi pemandu wisata dari Jakarta ke Bandung! 2. Gambarkan diagram transisi untuk rantai Markov dengan matriks peluang transisi berikut Prostok-5-firda

21 3. Ada dua kotak A dan B. Kotak A berisi 2 bola
putih dan kotak B berisi 2 bola hitam. Dilakukan percobaan mengambil 1 bola secara acak dari masing-masing kotak, kemudian dipertukarkan ke kotak lainnya. Percobaan ini dilakukan berulang kali. Asumsikan state ke i (i = 0, 1, 2) menyatakan jumlah bola hitam di kotak A. a. Tentukan matriks peluang transisinya. b. Gambarkan diagram transisinya. Prostok-5-firda

22 4. Gambarkan diagram transisi untuk rantai Markov
dengan matriks peluang transisi berikut Prostok-5-firda

23 5. Seorang Dokter praktek di tiga klinik berbeda
(“A”,”B”,”C”), dengan jadual praktek selama 15 hari ke depan seperti tabel berikut : Hari 1 2 3 4 5 6 7 Klinik A B C Hari 8 9 10 11 12 13 14 15 Klinik A C B Prostok-5-firda

24 a. Tentukan matriks peluang transisi dari tempat
praktek dokter tersebut. b. Gambarkan diagram transisinya. c. Tentukan peluang bahwa dokter tersebut tetap berpraktek di klinik “B”. Prostok-5-firda

25 5.5 Persamaan Chapman-Kolmogorov
Sebelumnya telah didefinisikan peluang transisi satu langkah pada persamaan (5.2), Selanjutnya akan ditentukan peluang proses yang berada pada keadaan i akan berada pada keadaan j setelah n transisi (peluang transisi langkah ke-n), kita nyatakan dengan Prostok-5-firda

26 Sifat peluang rantai Markov secara lengkap digambarkan dengan peluang
inisial (awal) dan peluang transisi sebagai berikut: (5.3) dimana adalah peluang awal. Prostok-5-firda

27 Misalkan menyatakan distribusi awal,
dengan merupakan peluang awal, sehingga Prostok-5-firda

28 Selanjutnya akan dihitung melalui peluang
transisi dengan Peluang transisi n langkah dapat dihitung dengan menjumlahkan semua peluang perpindahan dari keadaan i ke keadaan k dalam r langkah dan perpindahan dari keadaan k ke keadaan k pada sisa waktu n-r. Prostok-5-firda

29 Persamaan ini disebut persamaan Chapman-Kolmogorov.
Dalam bentuk matriks ditulis, Prostok-5-firda

30 j k i r n r Interpretasi persamaan Chapman-Kolmogorov. Prostok-5-firda

31 n-langkah: Catat bahwa,
Secara rekursif kita punya matriks peluang transisi n-langkah: Artinya, matriks peluang transisi langkah ke-n diperoleh dari matriks dipangkatkan n. Sehingga kita punyai, Prostok-5-firda

32 maka peluang gabungan dapat dihitung melalui
Seperti persamaan maka peluang gabungan dapat dihitung melalui peluang awal (seperti distribusi awal ) dan peluang transisi (matriks P). Misal, merupakan peluang proses keadaan j pada waktu ke n. Prostok-5-firda

33 n langkah, sehingga berlaku
Misal merupakan distribusi n langkah, sehingga berlaku maka Prostok-5-firda

34 Contoh: Dari contoh 3 subbab 5.4, tentukan distribusi
pengguna sampo di daerah yang diteliti, lima minggu setelah survey berlangsung. Jawab : Tentukan distribusi awal; Dari survey pertama diperoleh , Prostok-5-firda

35 Tentukan matriks peluang transisi 5 langkah ,
Diperoleh distribusi pengguna sampo dalam lima minggu: Prostok-5-firda

36 Soal Diberikan matriks peluang transisi dari suatu rantai Markov,
Tentukan distribusi langkah ke-n, untuk n=2,4,8 jika diasumsikan distribusi inisial Prostok-5-firda

37 2. Pandang matriks peluang transisi dari suatu rantai Markov,
(i) Buatkan diagram transisinya . (ii) Tentukan (iii) Tentukan Prostok-5-firda