INTEGRAL RANGKAP DUA Yulvi Zaika.

Presentasi berjudul: "INTEGRAL RANGKAP DUA Yulvi Zaika."— Transcript presentasi:

1 INTEGRAL RANGKAP DUA Yulvi Zaika

2 Integral ganda Fungsi dua variabel pada suatu daerah tertutup di bidang x,y yang batas batasnya dikenal dengan kurva mulus bagian demi bagian (piecewise smooth curve) yang tertutup

3 Sifat – sifat integral ganda

4 Evaluasi Integral Ganda

5 Contoh

6

7 Latihan

8 APLIKASI INTEGRAL RANGKAP DUA
LUAS BIDANG ANTARA 2 KURVA Luas elemen 𝛿𝐴=𝛿𝑥𝛿𝑦 Luas daerah aksiran≈ 𝑦= 𝑦 1 𝑦= 𝑦 2 𝛿𝑥𝛿𝑦 Luas seluruh aksiran dalam kurva≈ 𝑥=𝑎 𝑥=𝑏 𝑦=𝑦1 𝑦=𝑦2 𝛿𝑥𝛿𝑦 Jika 𝛿𝑥→0 𝑑𝑎𝑛 𝛿𝑦→0, 𝐴= 𝑎 𝑏 𝑦1 𝑦2 𝑑𝑦𝑑𝑥

9 y=f1(x) y=f2(x) a b x y a b x y x=f1(y) x=f2(y)

10 CONTOH

11

12 Volume elemen 𝛿𝑉=𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 Volume kolom≈ 𝑧=0 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧
Volume dari benda Volume elemen 𝛿𝑉=𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 Volume kolom≈ 𝑧=0 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 Volume potongan ≈ 𝑦=𝑦1 𝑦=𝑦2 𝑧=0 𝑧=𝑓 𝑥,𝑦 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 Total volume  jumlah semua potongan

13 Dan jika Akan menjadi

14 Contoh Tentukan luas area antara 2 kurva y1=(x-1)2 dan kurva y2= 4- (x-3)2 Tentukan titik potong kedua kurva Titik potong kurva

15

16 contoh Tebal plat t pada P 𝑡=𝑘𝑂 𝑃 2 =𝑘 𝑥 2 + 𝑦 2 Luas elemen=xy
Suatu plat segiempat dibatasi oleh sumbu x dan y dan garis x=6 dan y=4. Ketebalan dari plat berbanding lurus dengan jarak terhadap kuadrat titik ke titik asal. Tentukan volume dari plat tersebut. Tebal plat t pada P 𝑡=𝑘𝑂 𝑃 2 =𝑘 𝑥 2 + 𝑦 2 Luas elemen=xy

17 Volume elemen pada P Total volume V

18 contoh Tentukan volume dari benda pada yang dibatasi oleh bidang z=0, x=1, x=3 y=1, y=2 dan permukaan 𝑧= 𝑥 2 𝑦 2

19 Volume elemen Volume kolom Volume potongan Volume benda padat

20 Contoh Tentukan volume tetrahedron yang dibatasi oleh bidang bidang koordinat dan Bidang 3x+6y+4z-12=0 Z=0 maka 3x+6y-12=0 atau x+2y-4=0 pada bidang xy Y=0 maka 3x +4z-12=0 pada bidang xz X=0 maka 6y+4z -12=0 pada bidang yz z Z=(12-3x-6y)/4 3 2 Bidang xy maka y=2-x/2 dan x=4-2y daerah R R y R={(x,y)|0≤x≤4,0≤y≤2-x/2} Atau R={(x,y)|0≤x≤4-2y,0≤y≤2} 4 x

21

22 LATIHAN Tentukan luas antara dua kurva y1=3x2 dan y2=6x
Tentukan volume tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang 20x+12y+15z-60=0 Tentukan volume tetrahedron yang dibatasi oleh bidang bidang koordinat dan bidang x=5 dan y+2z-4=0 𝑅= 𝑃: 𝑥,𝑦 |0≤𝑥≤1, 𝑥 3 ≤𝑦≤2− 𝑥 4 𝑅= 𝑃: 𝑥,𝑦 | tan 𝑦 ≤𝑥≤2 cos 𝑦 , 0≤𝑦≤ 𝜋 4

23 KOORDINAT KUTUB

24

25 CONTOH

26 LATIHAN Hitung luasnya dengan koordinat kutub
𝑅 𝑒 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝐴 : R daerah di dalam lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 =4 𝑅 4− 𝑥 2 − 𝑦 𝑑𝐴 : R daerah di kuadran pertama yang dibatasi lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 =4, y=0 dan y=x 𝑅 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝐴 : R daerah di kuadran pertama yang dibatasi lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 =4, y=0 dan y=x 𝑅 𝑦 𝑑𝐴 ; R daearah di dalam 𝑥 2 + 𝑦 2 =4 dan di luar 𝑥 2 + 𝑦 2 =1 yang terletak di kuadran pertama.