PROGRAM LINEAR (Definisi, Metode Grafik, Metode Substitusi )

Presentasi berjudul: "PROGRAM LINEAR (Definisi, Metode Grafik, Metode Substitusi )"— Transcript presentasi:

1 PROGRAM LINEAR (Definisi, Metode Grafik, Metode Substitusi )
RATNI PURWASIH, M.PD.

2 Definisi Program Linear adalah metode optimasi untuk menemukan nlai optimum dari fungsi tujuan linear pada kondisi batas-batas tertentu.

3 Elemen Program Linear Variabel keputusan (decision variable): x1, x2, ..., xn Fungsi tujuan (objective function): Z= f(x1, x2, ..., xn) Pembatasan (constraints): gi(x1, x2, ..., xn) ≤ bi

4 Model Pemrograman Linear
Model Pemrograman Linear Maksimum Tentukan variabel keputusan: x1, x2, ..., xn Sedemikian rupa sehingga (S.r.s) fungsi tujuan maksimum: Z = c1x1 + c2x cnxn Dengan pembatasan-pembatasan (D.p): 𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 +…+ 𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 ≤ 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 +…+ 𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛 ≤ 𝑏 2 𝑎 𝑚1 𝑥 1 + 𝑎 𝑚2 𝑥 2 +…+ 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 ≤ 𝑏 𝑚 Dimana 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 ≥0

5 Model Pemrograman Linear Minimum
Tentukan variabel keputusan: x1, x2, ..., xn Sedemikian rupa sehingga (S.r.s) fungsi tujuan minimum: Z = c1x1 + c2x cnxn Dengan pembatasan-pembatasan (D.p): 𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 +…+ 𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 ≥ 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 +…+ 𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛 ≥ 𝑏 2 𝑎 𝑚1 𝑥 1 + 𝑎 𝑚2 𝑥 2 +…+ 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 ≥ 𝑏 𝑚 Dimana 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 ≥0

6 Solusi Persoalan Pemrograman Linear
Metode Grafik, terdiri dari dua fase yaitu: Menentukan ruang/daerah penyelesaian (solusi) yang feasible. Menentukan solusi optimal dari semua titik di ruang /daerah feasible. Ada dua metode untuk mengidentifikasi solusi optimum yaitu: a. Metode Isoline b. Metode Titik Ekstrim

7 Perhatikan soal berikut ini :
MODEL MATEMATIKA MEMBUAT MODEL MATEMATIKA Perhatikan soal berikut ini : Sebuah pesawat terbang mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 300 kursi ,terdiri atas kelas ekonomi dan VIP Penumpang kelas ekonomi boleh membawa bagasi 3 kg dan kelas VIP boleh membawa bagasi 5 kg sedangkan pesawat hanya mampu membawa bagasi 1200 kg, Tiket kelas ekonomi memberi laba Rp dan kelas VIP Rp ,00 Berapakah laba maksimum dari penjualan tiket pesawat tersebut ? 7

8 MODEL MATEMATIKA Pernyataan tersebut dapat dibuat tabel sebagai berikut: Banyak kelas Ekonomi (x1) Banyak kelas VIP (x2) maximum x1 x2 300 Tempat duduk Bagasi 3x1 5x2 1200 8

9 f: Z = x1 + 2x2 MODEL MATEMATIKA Pertidaksamaan (1) Pertidaksamaan (2)
PERMASALAHAN TERSEBUT ADALAH f: Z = x1 + 2x2 Fungsi Tujuan Pertidaksamaan (1) Pertidaksamaan (2) Pertidaksamaan (3) Pertidaksamaan (4) 9

10 Menentukan DP dari Pertidaksamaan (1)
x1 + x x2 300 DP x1 300 10

11 Menentukan DP dari Pertidaksamaan (2)
x2 3x1 + 5x 240 DP x1 400 11

12 Menentukan DP dari Pertidaksamaan (1) dan (2)
x2 x1 + x 3x1 + 5x 300 240 (150, 150) DP x1 300 400 12

13 Menentukan DP dari Pertidaksamaan (1), (2), (3), & (4)
x2 x1 + x 3x1 + 5x x x 300 240 (150,150) DP x1 300 400 13

14 NILAI OPTIMUM MENCARI NILAI OPTIMASI DENGAN TITIK EKSTRIM x1 + x2 300
f: x1 + 2x2 A(0,240) =480 max D(300,0) =300 E(150,150) =450 Titik f : x + 2y A(0,240) E(150,150) DP x1 D(300,0) 14

15 MENCARI NILAI OPTIMASI DENGAN GARIS SELIDIK
GARIS SELIDIK (ISOLINE) MENCARI NILAI OPTIMASI DENGAN GARIS SELIDIK x2 C(0,300) f : x1 + 2x2 A(0,240) A(0,240) E(150,150) DP x1 D(300,0) B(400,0) f : x1 + 2x2

16 Metode Substitusi Solusi pemrograman linear dapat dilakuakan dengan metode Substitusi dengan beberapa tahapan, yaitu: Mengubah ketidaksamaan pembatasan menjadi kesamaan pembatasan dengan cara menambahkan variabel slack (surplus) untuk persoalan maksimum (minimum). Tentukan seluruh pemecahan dasar dari persamaan pembatasan dan tentukan pemecahan yang memenuhi semua syarat pembatasan (solusi feasible). Tentukan salah satu dari solusi feasible tersebut yang memenuhi syarat fungsi tujuan atau solusi optimum.

17 Model Persoalan Pemrograman Linear Awal
Persoalan Pemrograman Linear dimana pembatasannya masih dalam bentuk ketidaksamaan (≤𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ ). Tentukan : x1, x2, ..., xn S.r.s : Z = c1x1 + c2x cnxn : Optimum D.p : 𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 +…+ 𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 ≤ ≥ 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 +…+ 𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛 ≤ ≥ 𝑏 2 𝑎 𝑚1 𝑥 1 + 𝑎 𝑚2 𝑥 2 +…+ 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 ≤ ≥ 𝑏 𝑚 Dimana 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 ≥0

18 Model Persoalan Pemrograman Linear Standar
Persoalan Pemrograman Linear dimana pembatasannya sudah dalam bentuk kesamaan (=). Tentukan : x1, x2, ..., xn, s1, s2, ..., sn S.r.s : Z = c1x1 + c2x cnxn + 0s1 + 0s sn : Optimum D.p : 𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 +…+ 𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 ±0 𝑠 1 = 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 +…+ 𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛 ±0 𝑠 2 = 𝑏 2 𝑎 𝑚1 𝑥 1 + 𝑎 𝑚2 𝑥 2 +…+ 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 ±0 𝑠 𝑛 = 𝑏 𝑚 Dimana 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 , 𝑠 1 , 𝑠 2 ,…, 𝑠 𝑛 ≥0

19 Contoh Metode Substitusi:
Tentukan solusi dari persoalan pemrograman linear berikut: Cari x1 dan x2 S.r.s: Z = 8x1 + 6x2 (maksimum) D.p: 4x1 + 2x2 ≤ 60 2x1 + 4x2 ≤ 48 x1, x2 ≥ 0 Solusi: Transformasi persoalan pemrograman linear ke dalam bentuk standar: Cari x1, x2, s1 dan s2 S.r.s: Z = 8x1 + 6x2 + 0s1 + 0s2(maksimum) D.p: 4x1 + 2x2 + s1 = 60 2x1 + 4x2+ s2 = 48 x1, x2, s1,s2 ≥ 0 Mencari Solusi feasible : a). 𝑥 1 =0 𝑑𝑎𝑛 𝑥 2 =0 4 𝑥 1 +2 𝑥 2 + 𝑠 1 =60→ 𝑠 1 =60 2 𝑥 1 +4 𝑥 2 + 𝑠 2 =48→ 𝑠 2 =48≫𝑍=8 𝑥 1 +6 𝑥 2 +0 𝑠 1 +0 𝑠 2 =0

20 b). 𝑥 1 =0 𝑑𝑎𝑛 𝑠 1 =0 4 𝑥 1 +2 𝑥 2 + 𝑠 1 =60→ 2𝑥 2 =60 → 𝑥 2 =30 2 𝑥 1 +4 𝑥 2 + 𝑠 2 =48→ 4 𝑥 2 +𝑠 2 =48→ 𝑠 2 =−72 Karena 𝑠 2 negatif , tidak feasible sehingga Z tidak dihitung. c). 𝑥 1 =0 𝑑𝑎𝑛 𝑠 2 =0 4 𝑥 1 +2 𝑥 2 + 𝑠 1 =60→ 2 𝑥 2 +𝑠 1 =60→ 𝑠 1 =36 2 𝑥 1 +4 𝑥 2 + 𝑠 2 =48→ 4𝑥 2 =48→ 𝑥 2 =12 ≫𝑍=8 𝑥 1 +6 𝑥 2 +0 𝑠 1 +0 𝑠 2 =0 ≫𝑍= =72 d). 𝑥 2 =0 𝑑𝑎𝑛 𝑠 1 =0 4 𝑥 1 +2 𝑥 2 + 𝑠 1 =60→4 𝑥 1 =60→ 𝑥 1 =15 2 𝑥 1 +4 𝑥 2 + 𝑠 2 =48→ 2𝑥 1 + 𝑠 2 =48→ 𝑠 2 =18 ≫𝑍= =120

21 e). 𝑥 2 =0 𝑑𝑎𝑛 𝑠 2 =0 4 𝑥 1 +2 𝑥 2 + 𝑠 1 =60→ 4𝑥 1 + 𝑠 1 =60 → 𝑠 1 =−36 2 𝑥 1 +4 𝑥 2 + 𝑠 2 =48→2 𝑥 1 =48→ 𝑥 1 =24 Karena 𝑠 1 negatif , tidak feasible sehingga Z tidak dihitung. f). 𝑠 1 =0 𝑑𝑎𝑛 𝑠 2 =0 4 𝑥 1 +2 𝑥 2 + 𝑠 1 =60→ 4𝑥 1 +2 𝑥 2 =60→ 𝑥 2 =30−2 𝑥 1 =30−2 12 =6 2 𝑥 1 +4 𝑥 2 + 𝑠 2 =48→ 2𝑥 1 +4 𝑥 2 =48→2 𝑥 −2 𝑥 1 =48 2 𝑥 −8 𝑥 1 =48→−6 𝑥 1 =−72→ 𝑥 1 =12 ≫𝑍=8 𝑥 1 +6 𝑥 2 +0 𝑠 1 +0 𝑠 2 =0 ≫𝑍= =132 Jadi, solusi optimum terjadi pada 𝑥 1 =12 𝑑𝑎𝑛 𝑥 2 =6 dengan Z = 132.

22 LATIHAN Seorang pembuat kue mempunyai 8 kg tepung dan 2 kg gula pasir. Ia ingin membuat dua macam kue yaitu kue dadar dan kue apem. Untuk membuat kue dadar dibutuhkan 10 gram gula pasir dan 20 gram tepung sedangkan untuk membuat sebuah kue apem dibutuhkan 5 gram gula pasir dan 50 gram tepung. Jika kue dadar dijual dengan harga Rp 300,00/buah dan kue apem dijual dengan harga Rp 500,00/buah, tentukanlah pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut. Seorang pedagang furnitur ingin mengirim barang dagangannya yang terdiri atas kursi dan 400 meja. Untuk keperluan tersebut, ia akan menyewa truk dan colt. Truk dapat memuat 30 kursi lipat dan 20 meja lipat, sedangkan colt dapat memuat 40 kursi lipat dan 10 meja lipat. Ongkos sewa sebuah truk Rp ,00 sedangkan ongkos sewa sebuah colt Rp ,00. Tentukan jumlah truk dan colt yang harus disewa agar ongkos pengiriman minimum. Sumber:  Content is Courtesy of bahanbelajarsekolah.blogspot.com

23 SELESAI DAN TERIMA KASIH