MODUL 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

Presentasi berjudul: "MODUL 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU"— Transcript presentasi:

1 MODUL 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

2 RUMUS-RUMUS DASAR INTEGRAL

3

4 Rumus-rumus Reduksi

5

6 PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan fungsi yang belum diketahui, dan atau persamaan itu mungkin juga melibatkan fungsi itu sendiri dan konstanta.

7 SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL
Solusi persamaan diferensial adalah menentukan suatu fungsi dimana turunnya, dan disubsitutiskan memenuhi persamaan diferensial yang diberikan. Contoh : Apakah, y = e2x, solusi persamaan diferensial, y” – 4y’ + 4y = 0 Dengan cara mensubstitusikan, y=e2x, y’ = 2e2x, dan y’’ = 4e2x pada persamaan dihasilkan, 4e2x - 4(2e2x) + 4e2x = 0 0=0 Jadi 4e2x e2x 4adalah solusi PD. Contoh : Diberikan persamaan diferensial, dy = (4x + 6 cos 2x)dx Dengan cara mengintegralkan diperoleh solusi PD yaitu : Jadi, y= 2x2 + 3 sin 2x + c adalah solusi PD

8 PD Variabel Terpisah Contoh : Bentuk Umum PD Variabel Terpisah,
Tulislah PD menjadi, 2x(2 + 3y2)dx + 3y(1 + x2)dy = 0 (1 + x2)(2 + 3y2) Diperoleh PD, Solusi PD adalah, Contoh : Carilah penyelesaian umum PD, (4x + 6xy2)dx + 3(y + x2y)dy = 0

9 Soal Latihan PD Variabel Terpisah
x(1 + y)dx + y(1 + x) dy = 0 xydx + (x2 – 1)ln y dy = 0 (1 + y2)sin x dx + 2y (1 – cos x)dy= 0 (1 + y) (1 + sin x)dx + y cos x dy = 0 xy dx + (x – 1)(1 + ln y)dy = 0 2(1 + ey)dx + x(1 + x)dy = 0 2xy(1 – y)dx + (x2 – 4)dy = 0 (y2 − 4) dx + x(x – 2)dy = 0 y(1 + x2)dx + 2x(1 + ln y)dy = 0 ex(1 + ey)dx + (1 + ex )e−y dy = 0

10 PD HOMOGEN Fungsi f(x,y) dikatakan fungsi homogen berderajad n, jika terdapat α, sedemikian sehingga f(αx, αy) = αn f(x,y) Bentuk umum PD : g(x,y)dx + h(x,y)dy = 0 Kasus 1. Substitusi, y=ux, dy=udx+xdu PD menjadi. [g(1,u)+uh(1,u)]dx + xh(1,u)du=0 Kasus 2. Substitusi, x=vy, dx=vdy + ydv PD menjadi. yg(v,1)dv + [vg(v,1)+h(v,1)]dy=0

11 Contoh Carilah penyelesaian umum PD,. (4x2 – 3y2)dx + 4xy dy = 0
Jawab Substitusikan, y = ux,dy=udx+xdu ke persamaan , maka dihasilkan : x2(4–3u2)dx + x24u(udx + x du) = 0 (4–3u2)dx + 4u(udx + x du) = 0 (4–3u2+4u2) dx + 4xu du) = 0 Carilah penyelesaian umum, PD, x2ydx – (x3 + y3) dy = 0 Jawab Substitusi, x=vy, dx=vdy+ydv, ke PD diperoleh, v2y3 (vdy +ydv) – y3(v3 + 1)dy = 0 v2(vdy +ydv) – (v3 + 1)dy = 0 v2y dv – dy = 0

12 Reduksi Persamaan Homogen
Kasus khusus PD berbentuk, (ax+by+d)dx + (px+qy+r)dy=0 Kasus1, d=0,r=0 Jika d=r=0, PD menjadi (ax+by)dx+(px+qy)dy=0 Substitusikan, y=ux,dy=udx+xdu diperoleh, x(a+bu)dx+x(p+qu)(udx+xdu) = 0 atau, [a+(b+p)u+qu2]dx+x(p+qu) du = 0 Contoh : Carilah penyelesaian umum PD, (x + 4y)dx + (4x + 2y)dy = 0 Jawab Substitusi, y=ux,dy=udx+xdu. PD menjadi, x(1+4u)dx + x(4+2u)[udx+xdu] = 0 atau, (1 + 8u + 2u2)dx + x (4 + 2u) du = 0

13 Kasus 2 aq – bp = 0 Contoh Bila, aq – bp =0 maka berlaku :
px + qy = k(ax + by) konstanta tak nol. Substitusikanlah, z = ax + by , dz = adx + bdy diperoleh PD, Contoh Carilah penyelesaian umum PD, (2x+5y + 2)dx+(4x+10y + 3)dy=0 Jawab aq – bp = (2)(10) – (5)(4) = 0. Subsitusi, 4x + 10y = 2(2x + 5y), dan z=2x+5y, dz=2dx+5dy. Maka diperoeh PD

14 Kasus Ketiga, aq – bp ≠ 0 (ax+by+d)dx + (px+qy+r)dy=0
Substitusi pertama, u=ax+by+d, du=adx+bdy v=px+qy+r, dv=pdx+qdy atau, diperoleh Substitusi kedua, v = uz dan dv = udz + zdu kedalam persamaan homogen, sehingga dihasilkan : u(q–pz)du + u(az – b)(udz+zdu) = 0 [az2 – (b+p)z + q]du + u(az–b)dz = 0

15 Contoh Carilah penyelesaian umum PD,
(2x + 4y + 2)dx + (4x + 3y + 3)dy = 0 Jawab Substitusi pertama u=2x + 4y + 2, v=4x + 3y + 3, Substitusi kedua, v=uz, dv=udz+zdu diperoleh hasil, (3u–4uz)du + (–4u+2uz)(udz+zdu)= 0 u(3–4z)du + u(–4+2z)(udz+zdu) = 0 (3 – 4z – 4z + 2z2)du +(2z – 4)d Diperoleh PD, (3u – 4v)du + (–4u + 2v) dv = 0

16 Soal-soal Latihan PD Homogen
(x2 + y2)dx – xydy = 0 x2y dx + (x3 + y3)dy = 0 y dx – (x−yex/y)dy = 0 y(1 + ey/x) dx + (xey/x+ y) dy = 0 x2(x+3y)dx + (x3+ y3)dy = 0 y(y + xex/y)dx – x2ex/y dy = 0 (3x2y + y3)dx + (x3+ 3xy2)dy = 0 (2x – 3y)dx + (3x – 8y)dy = 0 (2x – 2y + 3)dx + (2x – 8y+4)dy = 0 (2x – y)dx + (x – 6y + 2)dy = 0 (2x + 5y + 2)dx + (5x + 3y – 2)dy = 0 (x – 2y + 3)dx + (2x – 9y – 4)dy = 0

17 PD Eksak dan Non Eksak Solusi, F(x,y)=c dimana Solusi, F(x,y)=c dimana
Persamaan diferensial linier orde satu yang berbentuk, M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 dikatakan sebagai persamaan diferensial eksak jika hanya jika Solusi, F(x,y)=c dimana Solusi, F(x,y)=c dimana

18 Contoh : Contoh : Carilah penyelesaian PD,
(1 + yexy) dx +(xexy + 2y) dy = 0 Jawab PD Eksak, karena : Solusi, F(x,y)=C, dimana Contoh : Carilah penyelesaian PD, Jawab PD Eksak, karena : Solusi, F(x,y)=c dimana :

19 PD Non Eksak dan Faktor Integrasi
Persamaan diferensial linier orde satu yang berbentuk, M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 dikatakan sebagai persamaan diferensial non eksak jika hanya jika PD Non eksak diubah menjadi PD eksak dengan mengalikan faktor integrasi u, sehingga PD berbentuk. uM(x,y)dx+uN(x,y)dy = 0 Kasus Pertama, u = u(x) Faktor integrasi u diberikan oleh, Kasus Kedua, u = u(y) Faktor integrasi u diberikan oleh,

20 Contoh : Carilah penyelesaian umum PD, (4x3 + x2 – y2)dx + 2xy dy = 0
Jawab PD Eksak or Non eksak PD menjadi, PD Eksak, Solusi PD Eksak, F(x,y) = c, dimana : Faktor Integrasi u Solusi. 2x3 + x2 + y2 = cx

21 Contoh : Carilah penyelesaian umum PD, Jawab PD Eksak or Non eksak
PD Non Eksak Faktor Integrasi u

22 Solusi PD Eksak, F(x,y)=c dimana :
PD menjadi, PD Eksak Solusi PD Eksak, F(x,y)=c dimana :

23 Soal Latihan PD Eksak Non Eksak
(x3 + y2)dx + (2xy − y3)dy = 0 (x + y sin 2x)dx + (sin2 x + 3y2)dy = 0 [2x + y cos(xy)] dx + [x cos(xy) – 2y]dy = 0 (x + y)2 dx + (x2 + 2xy + yey)dy = 0 (xex + yexy)dx + (1 + xexy )dy = 0 (xex − ey)dx + ey(y − x)dy = 0 3x2(y − 1)2dx + 2x3 (y − 1)dy = 0

24 PD Linier Orde Satu Contoh
Persamaan diferensial biasa linier orde satu adalah suatu persamaan yang berbentuk, y′ + P(x)y = Q(x) Tulislah PD menjadi, [P(x)y – Q(x)]dx + dy = 0 Persamaan diatas adalah non eksak faktor integrasinya adalah, Contoh Carilah penyelesaian umum PD, xy′ + (1 – x)y = 4xex ln x Jawab Tulis PD menjadi, Solusi PD adalah,

25 PD Bernoulli Contoh Carilah pernyelesaian umum PD,
Bentuk umum PD Bernoulli, y′ + P(x)y = Q(x)yn Tulislah PD menjadi, yny′ + P(x)y1–n = Q(x) Substitusi, z = y1–n,dan z′=(1–n)y–n y′, PD menjadi z′ + (1 – n)P(x)z = (1 – n)Q(x) PD adalah linier orde satu, Contoh Carilah pernyelesaian umum PD, xy′ + y = y3 x3 ln x Jawab Tulislah PD menjadi, Substitusi, z = y–2, z′=–2y–3 y′, PD menjadi,

26 PD Bernoulli Contoh Carilah penyelesaian PD,
Bentuk umum PD Bernoulli - lain yn–1 y′ + P(x)yn = Q(x) Substitusi, z = yn,dan z′=nyn – 1y′, PD menjadi z′ + n P(x)z = nQ(x) PD adalah linier orde satu, Contoh Carilah penyelesaian PD, Jawab, Substitusi , z = y3,dan z′= 3y2y′, PD menjadi

27 Reduksi Orde PD Contoh y′′′ – y′′ = xex
Bantuk Umum PD adalah, y(n) + P(x)y(n–1) = Q(x) Substitusi, z = y(n–1),dan z′= y(n), PD menjadi z′ + P(x)z = Q(x) PD adalah linier orde satu, Contoh carilah penyelesaian khusus dari, y′′′ – y′′ = xex y(0) = 1, y′(0) = 2 dan y′′(0) = 4 Jawab Substitusi, z = y′′,dan z′= y′′′, PD menjadi, z′ – z = xex Faktor integrasi,

28 Soal-soal Latihan y′ + y tan x = 2 x cos x y′ – xy = 6xe2x
x2 ln x y′ + xy = 1 x y′ + 2 y = 4 ln x sin x y′ + y cos x = sin x – x cos x (1 + x2) y′ + 2xy = x ln x (x – 1) y′ – 2y = x(x − 1)4 (1 + ex)y′ + ex y= xex x ln x y′ + y = x3 ln x 3y′ + y = (1 − 2x)y4 x ln x y′ – y = x3 y2 x y′′′ – y′′ = x4 ln x y′′′ – 2y′′ = x e2x