Rumus Trigonometri Dua Sudut

Presentasi berjudul: "Rumus Trigonometri Dua Sudut"— Transcript presentasi:

1 Rumus Trigonometri Dua Sudut

2 tayangan ini anda dapat
Tujuan Umum Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menyelesaikan soal yang berkaitan dengan rumus jumlah, selisih dan perkalian dua sudut, sinus dan cosinus

3 Rumus Jumlah dan Selisih
Cos (𝛼±𝛽) Cos (𝜶−𝜷) = cos 𝜶. cos 𝜷+ sin 𝜶. sin 𝜷 Cos (𝜶+𝜷) = cos 𝜶. cos 𝜷− sin 𝜶. sin 𝜷

4 Rumus Jumlah dan Selisih
Sin (𝛼±𝛽) Sin (𝜶−𝜷) = sin 𝜶. cos 𝜷− sin 𝜷. cos 𝜶 Sin (𝜶+𝜷) = sin 𝜶. cos 𝜷+ sin 𝜷. cos 𝜶

5 Rumus Jumlah dan Selisih
Tan (𝛼±𝛽) Tan (𝜶+𝜷) = 𝒕𝒂𝒏 𝜶+𝒕𝒂𝒏 𝜷 𝟏−𝒕𝒂𝒏 𝜶. 𝒕𝒂𝒏 𝜷 Tan (𝜶−𝜷) = 𝒕𝒂𝒏 𝜶−𝒕𝒂𝒏 𝜷 𝟏+𝒕𝒂𝒏 𝜶. 𝒕𝒂𝒏 𝜷

6 Tentukan nilai sin 15° ! Contoh 1 Penyelesaian :
sin 15° = sin (45° - 30°) = sin 45°. Cos 30° - sin 30°. Cos 45° = − = − sin 15° = 1 4 ( 6 − 2 )

7 Tentukan nilai cos 165° ! Contoh 2 Penyelesaian :
Cos 165° = cos (120° + 45°) = cos 120°. cos 45° - sin 120°. sin 45° = − − = − − cos 165° = − 1 4 ( )

8 Tentukan nilai tan 105° ! Contoh 3 Penyelesaian :
Tan 105° = tan (60° + 45°) = tan 60°+ tan 45° 1− tan 60°.tan 45° = − = − = − = −3 = −2 = −2 =

9 Contoh 4 Diketahui sin A = dan cos B = , dengan A dan B sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A + B) ! Penyelesaian : Sin A = 𝑦 𝑟 sehingga y = 4 dan r = 5, maka x = 𝑟 2 − 𝑦 2 = 3 Cos B = 𝑥 𝑟 sehingga x = 12 dan r = 13, maka y = 𝑟 2 − 𝑥 2 = 5

10 Penyelesaian Diperoleh : Sin A = 4 5 dan cos A = 3 5
Cos B = dan sin B = 5 13 Maka : Cos (A + B) = cos A. cos B – sin A. sin B = = =

11 Aktivitas Kelas

12 Sin 2 𝜶 = 2 sin 𝜶. cos 𝜶 Sin 2 𝜶 Rumus Sudut Rangkap
= sin 𝜶. cos 𝜶 + sin 𝜶. cos 𝜶 = 2 sin 𝜶. cos 𝜶 Sin 2 𝜶 = 2 sin 𝜶. cos 𝜶

13 cos 2 𝜶 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶 - 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶 Cos 2 𝜶 Rumus Sudut Rangkap
= cos 𝜶.cos 𝜶 + cos 𝜶. cos 𝜶 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶 - 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶 cos 2 𝜶 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶 - 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶

14 cos 2 𝜶 = 𝟏−𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶 Cos 2 𝜶 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶 - 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶 Rumus Sudut Rangkap
= (1− 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶) - 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶 = 𝟏−𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶 cos 2 𝜶 = 𝟏−𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶

15 cos 2 𝜶 = 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶−𝟏 Cos 2 𝜶 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶 - 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶 Rumus Sudut Rangkap
= 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶 - (𝟏− 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶) = 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶−𝟏 cos 2 𝜶 = 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶−𝟏

16 Tan 2 𝜶 = 𝟐. 𝒕𝒂𝒏 𝜶 𝟏− 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝜶 Tan 2 𝜶 Rumus Sudut Rangkap
= 𝒕𝒂𝒏 𝜶 + 𝒕𝒂𝒏 𝜶 𝟏−𝒕𝒂𝒏 𝜶.𝒕𝒂𝒏 𝜶 = 𝟐. 𝒕𝒂𝒏 𝜶 𝟏− 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝜶 Tan 2 𝜶 = 𝟐. 𝒕𝒂𝒏 𝜶 𝟏− 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝜶

17 Sin 𝟏 𝟐 𝜶= ± 𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝟐 cos 𝟏 𝟐 𝜶= ± 𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝟐 tan 𝟏 𝟐 𝜶= ± 𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝟏+𝒄𝒐𝒔
Rumus Lain Sin 𝟏 𝟐 𝜶= ± 𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝟐 cos 𝟏 𝟐 𝜶= ± 𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝟐 tan 𝟏 𝟐 𝜶= ± 𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝟏+𝒄𝒐𝒔 tan 𝟏 𝟐 𝜶= ± 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝜶 tan 𝟏 𝟐 𝜶= ± 𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒔𝒊𝒏 𝜶

18 Rumus Lain sin 𝜶 cos 𝜷 = 𝟏 𝟐 {𝒔𝒊𝒏(𝜶+𝜷)+𝒔𝒊𝒏(𝜶−𝜷)} cos 𝜶 sin 𝜷 = 𝟏 𝟐 {𝒔𝒊𝒏 𝜶+𝜷 −𝒔𝒊𝒏(𝜶−𝜷)} cos 𝜶 cos 𝜷 = 𝟏 𝟐 {𝒄𝒐𝒔(𝜶+𝜷)+𝒄𝒐𝒔(𝜶−𝜷)} sin 𝜶 sin 𝜷 = - 𝟏 𝟐 {𝒄𝒐𝒔 𝜶+𝜷 −𝒄𝒐𝒔(𝜶−𝜷)}

19 Rumus Lain sin 𝜶+ sin 𝜷 = 𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟏 𝟐 𝜶+𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝟏 𝟐 (𝜶−𝜷)} sin 𝜶- sin 𝜷 = 𝟐𝐜𝐨𝐬 𝟏 𝟐 𝜶+𝜷 𝒔𝒊𝒏 𝟏 𝟐 (𝜶−𝜷)} cos 𝜶+ cos 𝜷 = 𝟐𝐜𝐨𝐬 𝟏 𝟐 𝜶+𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝟏 𝟐 (𝜶−𝜷)} cos 𝜶- cos 𝜷 = -𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟏 𝟐 𝜶+𝜷 𝒔𝒊𝒏 𝟏 𝟐 (𝜶−𝜷)}

20 Contoh 1 Hitunglah nilai sin 2B, cos 2B, dan tan 2B, jika sin B = dan B sudut lancip ! Penyelesaian : Diketahui sin B = , maka y = 3 dan r = 5, sehingga diperoh x = 4 Maka sin B = 3 5 ; cos B = 4 5 , dan tan B = 3 4

21 Penyelesaian Sin 2B = 2 sin B. Cos B = = Cos 2B = 𝑐𝑜𝑠 2 𝐵− 𝑠𝑖𝑛 2 𝐵 = − = − = 7 5

22 Penyelesaian tan 2B = 2 tan 𝐵 1− 𝑡𝑎𝑛 2 𝐵 = − = − = = = 24 7

23 Contoh 2 Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator, hitunglah nilai dari cos 22,5 ° dan sin 112,5 ° ! Penyelesaian : Perhatikan bahwa 22,5 ° terletak dikuadran I. Dengan demikian cos 22,5 ° bernilai positif. Sudut 22,5 ° merupakan setengah dari 45 ° maka …

24 Penyelesaian Nilai cos 22,5 ° dapat dicari dengan menggunakan rumus setengah sudut, yaitu cos 𝟏 𝟐 𝜶= 𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝟐 cos 22,5 ° = cos 𝟏 𝟐 ( 𝟒𝟓 ° )= 𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓 ° 𝟐 = 𝟏+ 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 = 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝟐

25 Penyelesaian = 𝟏 𝟒 𝟐+ 𝟐 = 𝟏 𝟐 𝟐+ 𝟐 Begitu juga untuk 11 2,5 ° dapat dicari seperti langkah-langkah di atas.

26 Contoh 2 Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator, hitunglah nilai dari cos 105 ° . cos 15 ° dan sin 75 ° + sin 15 ° ! Penyelesaian : cos 105 ° . cos 15 ° dapat dihitung dengan rumus perkalian dua sudut, yaitu : cos 𝜶 cos 𝜷 = 𝟏 𝟐 {𝒄𝒐𝒔(𝜶+𝜷)+𝒄𝒐𝒔(𝜶−𝜷)} Maka …

27 Penyelesaian cos 𝟏𝟎𝟓 ° cos 𝟏𝟓 ° = = 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟎𝟓 ° + 𝟏𝟓 ° +𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟎𝟓 ° − 𝟏𝟓 ° = 𝟏 𝟐 {𝒄𝒐𝒔( 𝟏𝟐𝟎 ° )+𝒄𝒐𝒔( 𝟗𝟎 ° )} = 𝟏 𝟐 {− 𝟏 𝟐 +𝟎} = − 𝟏 𝟒

28 Penyelesaian sin 𝟕𝟓 ° + sin 𝟏𝟓 ° dapat dihitung dengan rumus penjumlahan dua sudut, sin 𝜶+ sin 𝜷 = 𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟏 𝟐 𝜶+𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝟏 𝟐 (𝜶−𝜷)} coba anda selesaikan !

29 Aktivitas Kelas

30 Contoh soal & Penyelesaian

31 Latihan Soal Nyatakan 2cos100°.cos35° sebagai bentuk penjumlahan. Bahasan: 2cos.cos = cos( + ) + cos( - ) 2cos100°.cos35° = cos( )° + cos( )° = cos135° + cos 65°

32 Latihan Soal 2. Nyatakan 2cos45°.cos15° sebagai bentuk penjumlahan, kemudian tentukan nilainya. Bahasan: 2cos.cos = cos( + ) + cos( - ) 2cos45°.cos15° = cos( )° + cos( )° = cos60° + cos 30°

33 Jadi, nilai 2cos45°.cos15° adalah : ½(1 + √3)
Latihan Soal 2cos45°.cos15° = cos60° + cos 30° = ½ + ½√3 = ½(1 + √3) Jadi, nilai 2cos45°.cos15° adalah : ½(1 + √3)

34 = cos{(p + ¼π) + (p - ¼π)} +
Latihan Soal 3. Sederhanakan : 2cos(p + ¼π)cos(p - ¼π) Bahasan: 2cos.cos = cos( + ) + cos( - ) 2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π) = cos{(p + ¼π) + (p - ¼π)} + cos{(p + ¼π) – (p - ¼π)}

35 Latihan Soal 2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π) = cos{(p + ¼π) + (p - ¼π)} + cos{(p + ¼π) – (p - ¼π)} = cos2p +cos½π = cos2p + 0 Jadi, bentuk sederhana dari 2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π) = cos2p

36 Latihan Soal 4. Nyatakan 2sin40°.sin20° sebagai bentuk penjumlahan. Bahasan: 2sin.sin = cos( - ) - cos( + ) 2sin40°.sin20° = cos( )° - cos( )° = cos20° - cos60° = cos20° - ½

37 Latihan Soal 5. Hitunglah sin75°.sin15° Bahasan: 2sin.sin = cos( - ) - cos( + ) sin75°.sin15° = ½(2sin75°.sin15°) = ½{cos( )° - cos( )°} = ½(cos60° - cos90°) = ½( ½ - 0) = ¼

38 Latihan Soal 6. Nyatakan bentuk 2sin½π.sin¼π sebagai bentuk penjumlahan, kemudian tentukan nilainya. Bahasan: 2sin.sin = cos( - ) - cos( + ) 2sin½π.sin¼π = cos(½π - ¼π) - cos(½π + ¼π) = cos¼π - cos¾π

39 Jadi, nilai 2sin½π.sin¼π = √2
Latihan Soal 2sin½π.sin¼π = cos¼π - cos¾π = ½√2 – (-½√2) = ½√2 + ½√2 =√2 Jadi, nilai 2sin½π.sin¼π = √2

40 Latihan Soal 7. Nyatakan 2sin80°.cos50° sebagai bentuk penjumlahan. Bahasan: 2sincos = sin( + ) + sin( - ) 2sin80°cos50° = sin( )° + sin( )° = sin130° + sin 30° = sin ½

41 Latihan Soal 8. Nyatakan 2sin3A.cosA sebagai bentuk penjumlahan. Bahasan: 2sincos = sin( + ) + sin( - ) 2sin3AcosA = sin(3A + A)° + sin(3A - A)° = sin4A + sin A

42 10. Hitunglah nilai 4 sin 1 8 𝜋 cos 3 8 𝜋 Bahasan:
Latihan Soal 10. Hitunglah nilai 4 sin 1 8 𝜋 cos 3 8 𝜋 Bahasan: 2sin.cos = sin( + ) + sin( - ) = = 2. =2.{1 - sin¼π}

43 Latihan Soal

44 Thank You !