PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA

Presentasi berjudul: "PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA"— Transcript presentasi:

1 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
Persamaan Differensial (PD) : Persamaan yang mengandung variabel x, y serta turunan-turunan dari y terhadap Tingkat dan derajat PD : PD tingkat n jika turunan tertinggi pada PD adalah ke-n PD derajat n jika pangkat tertinggi dari turunan tertinggi adalah n

2

3 JENIS – JENIS PD : I. PD dengan variabel yang dapat dipisahkan Bentuk Umum :

4 Contoh soal :

5

6 II. PD Homogen Definisi fungsi homogen : f(x,y) disebut homogen derajat n jika

7 Penyelesaian PD Homogen

8

9 III. PD EKSAK Bentuk umum

10

11 Contoh soal :

12 Cara Langsung

13 Penyelesaian

14 Cara Langsung:

15 Jika PD non eksak dapat dibuat eksak dengan cara mencari faktor integrasi (F.I)

16

17

18

19

20

21

22 IV. PD LINIER DAN PERSAMAAN BERNOULLI
Bentuk Umum : Turunan maupun variabel tidak bebas berpangkat 1/linier Penyelesaian

23 Contoh Soal PD Linier

24

25 B. Persamaan Bernoulli Bentuk Umum :

26

27 PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER tingkat n (PDL tingkat n)
Bentuk Umum :

28 I. PDL HOMOGEN dengan Koefisien Konstanta
Penyelesaiannya disebut Penyelesaian homogen/ penyelesaian komplementer/ yc tanpa operator 2 cara mencari yc dengan

29 1. Tanpa Operator misalkan

30 2. Dengan Operator

31 Jenis Akar-akar Persamaan Karakteristik
Riil berbeda Riil berulang Kompleks a). Akar Riil Berbeda lihat contoh 2. di atas (Dengan Operator). b). Akar Riil Berulang Contoh :

32 c). Akar Kompleks Jika akar-akarnya a ± bi maka

33 II. PD TAK HOMOGEN dengan Koefisien Konstanta
Bentuk Umum :

34 Mencari Penyelesaian Khusus/yP
1). Teknik Operator Invers (Rumus Integral Lipat)

35 2). Teknik Operator Invers

36

37 Metoda Koefisien Tak Tentu Dan Metoda Variasi Parameter
Adalah 2 metoda lain untuk mencari penyelesaian khusus/yp A. Metoda Koefisien Tak Tentu

38

39

40 B. Metode Variasi Parameter
Langkah-langkah menentukan yp : Tulis fungsi komplementernya/yc 2. Ganti semua konstanta C dengan L yaitu fungsi dari x

41 Lanjutan Metoda Variasi Parameter
3. Turunkan yp sebanyak order dari PDnya. Setelah diturunkan : - Semua bagian yang mengandung turunan dari L=0 - Pada turunan yang Terakhir, semua bagian yang mengandung turunan dari L=Q 4. Hitunglah 5. Tentukan

42 Contoh Soal Metoda Variasi Parameter :

43

44

45 Metoda Sederhana mencari penyelesaian khusus/yp untuk Q(x) tertentu

46

47

48

49

50

51 Persamaan Differensial Linier Dengan Koefisien Variabel
Persamaan Cauchy Bentuk Umum :

52 Substitusikan (**) ke (*) sehingga
diperoleh PD Linier dengan Koefisien Konstan. Contoh Soal :

53 PD SIMULTAN Ketentuan : Lebih dari 1 persamaan
Jumlah persamaan = jumlah variabel tidak bebas Jumlah variabel bebas = 1 Bentuk Umum : Penyelesaian PD Simultan : Cara Eliminasi Cara dengan Determinan

54 Catatan : Banyaknya konstanta
sembarang (yang bebas) yang muncul pada penyelesaian umum = derajat D dalam Δ di mana

55 TRANSFORMASI LAPLACE (TL)

56 Lanjutan Tabel Transformasi Laplace

57 Contoh Transformasi Laplace

58 TRANSFORMASI LAPLACE DARI FUNGSI TURUNAN

59 FUNGSI TANGGA SATUAN Definisi : U (t-a) = 0, t<a 1, t>a
Grafiknya: U(t-a) t a

60

61 Beberapa Teorema Khusus
I. Teorema Translasi Pertama II. Teorema Translasi Kedua

62 Lanjutan Beberapa Teorema Khusus

63 TRANSFORMASI LAPLACE DALAM PENYELESAIAN PD
Contoh: Selesaikan PD berikut

64 PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL (PDP)
Definisi dari PDP : Persamaan-persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan- turunan parsial. Persamaan itu haruslah melibatkan paling sedikit 2 variabel bebas. Tingkat Persamaan Differensial Parsial Tingkat turunan tertinggi pada persamaan itu. Contoh : Pandanglah z sebagai variabel terikat dan x,y sebagai variabel bebas

65

66 Eliminasi Konstanta-konstanta Sebarang
Pandang z sebagai fungsi 2 variabel bebas x dan y yang didefinisikan oleh 3). g(x,y,z,a,b)=0 a dan b 2 konstanta sebarang 3). Diturunkan secara parsial terhadap x dan y diperoleh

67 Konstanta-konstanta sebarang
Dapat dieliminasikan dari 3)., 4)., 5). yang menghasilkan PDP tingkat 1. 6). f(x,y,z,p,q)=0 Contoh : Eliminasikan konstanta-konstanta sebarang a dan b dari

68

69 Eliminasi Fungsi - fungsi Sebarang
Misalkan u=u(x,y,z) dan v=v(x,y,z) adalah fungsi-fungsi bebas dari variabel x,y,z, dan misalkan 7). Ф(u,v)=0 adalah suatu hubungan sebarang dari variabel-variabel. Pandang z sebagai variabel terikat dan diturunkan parsial terhadap x dan y, diperoleh

70

71

72

73 PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL LINIER TINGKAT 1
PDP tingkat 1 PDP Linier tingkat 1

74

75

76

77

78 PDP HOMOGEN TINGKAT TINGGI DENGAN KOEFISIEN-KOEFISIEN KONSTAN
PERSAMAAN SEJENIS yang linier pada variabel terikat z dan turunan-turunan parsialnya PDP linier tingkat 1) adalah 3 tingkat turunan tertinggi

79 PDP Linier Homogen Dengan Koefisien-koefisien Konstan
PDP Linier Sejenis di mana turunan-turunannya bertingkat sama homogen PDP Linier Homogen Dengan Koefisien-koefisien Konstan

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91 PDP LINIER TAK-HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN-KOEFISIEN KONSTAN
seperti

92

93 Contoh PDP LINIER TAK-HOMOGEN Yang dapat Direduksikan

94

95

96 PDP LINIER TAK-HOMOGEN yang Tak Dapat Direduksikan dengan Koefisien-Koefisien Konstan

97

98

99

100