Praktikum 12 Integrasi Numerik.

Presentasi berjudul: "Praktikum 12 Integrasi Numerik."— Transcript presentasi:

1 Praktikum 12 Integrasi Numerik

2 Tujuan Mahasiswa mampu memahami integrasi numerik dengan menggunakan beberapa metode. Mahasiswa mampu membedakan metode yang satu dengan yang lainnya Mahasiswa bisa mengembangkan atau memodifikasi programnya sesuai dengan metode. Mahasiswa bisa mengimplementasikan aplikasi program kedalam Scilab.

3 Ruang lingkup bahasan Kuadratur Aturan Trapesium Aturan Simpson
Integrasi Romberg

4 Aturan Simpson Aturan Simpson Majemuk

5 Contoh Dengan menggunakan aturan Simpson, hampiri integral fungsi f(x)=1/x pada [1,9] dengan delapan subinterval seragam. Jawab :

6 Numerik function hasil=simpmaj(f,x0,x1,n) h=(x1-x0)/n; hasil=[]; c=abs((x1-x0)/n); x=x0:c:x1; a=f(x0); b=f(x1); c=0; d=0; for i=1:n/2, d=d+4*(f(2*i)); end for i=2:n/2, c=c+2*(f(2*i-1)); hasil=(a+b+c+d)*h/3

7 Integrasi Romberg Aturan rekursif trapesium
Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada [a,b] dan h=(b-a). Untuk n=1,2,4,8,… atau n=20,21,22,23,…, kita definisikan barisan aturan trapesium dengan Barisan aturan trapesium tersebut memenuhi hubungan

8 Integrasi Romberg Dalam menghitung hampiran suatu integral dengan menggunakan aturan trapesium rekursif, kita lakukan langkah- langkah sebagai berikut.

9 Secara numerik M-file function Tn=traperekursif(f,n,a,b) h=b-a;
if n==0, Tn=h*(f(a)+f(b))/2; else if n>0 index=[1:2:2^n-1]; x=a+h*index/(2^n); F=f(x); Jf=sum(F); Tn=traperekursif(f,n-1,a,b)/2+Jf*h/(2^n); end

10 Integrasi Romberg Aturan rekursif simpson Aturan rekursif boole
Misalkan {Tn;n=0,1,2,…} adalah barisan aturan trapesium majemuk dan Sn adalah aturan simpson majemuk untuk fungsi f dengan 2n subinterval pada interval [a,b]. Hubungan antara aturan simpson dangan aturan trapesium majemuk adalah Aturan rekursif boole Misalkan {Sn;n=0,1,2,…} adalah barisan aturan simpson majemuk dan Bn adalah aturan boole majemuk untuk fungsi f dengan 2n subinterval pada interval [a,b]. Hubungan antara aturan boole dangan aturan simpson majemuk adalah

11 Contoh Hitunglah hampiran integral dengan menggunakan aturan trapesium, simpson, dan boole rekursif dengan cacah interval 1,2,3,4,dan 5. hitunglah pula galat masing-masing hampiran.

12 Dalam Scilab deff('y=f(x)','y=x^(-1)') T=[]; I = log(5); for n=0:5 Tn=traperekursif(f,n,1,5); T=[T;Tn Tn-I]; end T S=(4*T(2:6,1)-T(1:5,1))/3; [S S-I] B=(16*S(2:5)-S(1:4))/15; [B B-I]

13 Integrasi Romberg Metode Romberg
Integrasi Romberg dengan ekstrapolasi Richardson

14 Integrasi Romberg

15 Contoh Dengan menggunakan metode Romberg carilah hampiran integral tentu

16 Contoh Secara analitik

17 Dalam Scilab deff('y=f(x)','y=(x.^2+x+1).*cos(x)') T=[]; for n=0:5, Tn=traperekursif(f,n,0,%pi/2); T=[T;Tn]; end i=[2:6]'; S(i)=(4*T(i,1)-T(i-1,1))/3; i=[3:6]'; B(i)=(16*S(i)-S(i-1))/15; i=[4:6]'; R4(i)=(64*B(i)-B(i-1))/63; i=[5:6]'; R5(i)=(256*R4(i)-R4(i-1))/255; R6(6)=(4^5*R5(6)-R5(5))/(4^5-1); [T S B R4 R5 R6]

18 THE END