Luthfina Ariyani, S.T., M.Sc.

Presentasi berjudul: "Luthfina Ariyani, S.T., M.Sc."— Transcript presentasi:

1 Luthfina Ariyani, S.T., M.Sc.
Integral Luthfina Ariyani, S.T., M.Sc.

2 Integral Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas mengenai diferensial (turunan) fungsi. Jadi, apabila fungsi yang sudah diturunkan kemudian dikembalikan ke fungsi sebelumnya, maka proses tersebut disebut sebagai “pengintegralan” Simbol integral dituliskan dengan “∫”

3 Integral Contoh Sebuah fungsi 𝑦= 4𝑥 3 − 2𝑥 2 +1
memiliki turunan 𝑑𝑦= 12𝑥 2 −4𝑥 𝑑𝑥 maka integral dari 𝑑𝑦= 12𝑥 2 −4𝑥 𝑑𝑥 dituliskan dengan ∫𝑑𝑦= ∫(12𝑥 2 −4𝑥) 𝑑𝑥 dan diperoleh 𝑦= 4𝑥 3 − 2𝑥 2 +𝐶, dimana C adalah bilangan konstanta.

4 Teorema 1. Aturan Pangkat
Untuk n adalah sembarang bilangan rasional kecuali -1, maka: 𝑥 𝑛 𝑑𝑥= 1 𝑛+1 𝑥 𝑛+1 +𝐶 jika r=0, maka: 𝑘 𝑑𝑥=𝑘𝑥+𝐶

5 Teorema 1. Aturan Pangkat
contoh : 𝑥 8 𝑑𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 1 2 𝑑𝑥 𝑥 8 7 𝑑𝑥

6 Teorema 2. Kelinearan Misalkan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta, maka: 𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥= 𝑘 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 [𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 ]𝑑𝑥= 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 [𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 ]𝑑𝑥= 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

7 Teorema 2. Kelinearan contoh: 7𝑥 2 +8𝑥 𝑑𝑥 3𝑥 5 − 6𝑥 2 +2𝑥+7 𝑑𝑥 (𝑥+1) 2 𝑑𝑥 (2𝑥+5)(3𝑥−2)𝑑𝑥 𝑥 5 −1 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥(2𝑥−3) 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 3 2 −7𝑢+8 𝑑𝑢 1 𝑡 2 + 𝑡 𝑑𝑡

8 Teorema 3. Integral Subtitusi (Aturan Pangkat Diperumum)
Jika g merupakan suatu fungsi yang dapat diturunkandan r adalah bilangan rasional yang bukan -1, maka: 𝑔 𝑥 𝑟 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥= 1 𝑟+1 𝑔 𝑥 𝑟+1 +𝐶

9 contoh: ( 𝑥 8 +7𝑥) 10 ( 8𝑥 7 +7)𝑑𝑥

10 contoh: ( 𝑥 8 +7𝑥) 8 ( 16𝑥 7 +14)𝑑𝑥 ( 𝑥 2 +8) 7 𝑥 𝑑𝑥 2(1−3𝑥) 5 𝑑𝑥 3 5 (4𝑥+3) 9 𝑑𝑥 3 (2𝑥+1) 4 𝑑𝑥

11 Tugas contoh: (3𝑥+5)𝑑𝑥 2𝑥 1+ 𝑥 2 𝑑𝑥 3𝑥+4 𝑑𝑥 4𝑥 2 (1−8𝑥3) 4 𝑑𝑥 (1+𝑥) 2 𝑥 𝑑𝑥

12 Integral Fungsi Eksponensial
𝑎 𝑥 𝑑𝑥= 1 𝑙𝑛𝑥 𝑎 𝑥 +𝐶 𝑒 𝑥 𝑑𝑥= 𝑒 𝑥 +𝐶 𝑎𝑒 𝑥 𝑑𝑥= 𝑎𝑒 𝑥 +𝐶

13 Integral Fungsi Eksponensial
Contoh 2 3𝑥 𝑑𝑥 2𝑥−4 6 𝑥 2 −4𝑥 𝑑𝑥 2𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 4 5 (2 𝑥 2 −3𝑥) 𝑒 2 3 𝑥 3 − 3 2 𝑥 2 𝑑𝑥

14 Integral Trigonometri
Integral Sinus 𝑎 sin 𝑢 𝑑𝑢=−𝑎 cos 𝑢 +𝐶 𝑎 sin𝑛 𝑢 𝑑𝑢=𝑎 − 1 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛−1 𝑢. cos 𝑢 + 𝑛−1 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛−2 𝑢 𝑑𝑢 ,𝑛≥2 contoh 3 sin 3𝑥+5 𝑑𝑥 12 2𝑥+1 sin 𝑥 2 +𝑥 𝑑𝑥 5 sin 𝑥+1 cos⁡(𝑥+1) 𝑑𝑥

15 Integral Trigonometri
Integral Cosinus 𝑎 cos 𝑢 𝑑𝑢=𝑎 s𝑖𝑛 𝑢 +𝐶 𝑎 cos𝑛 𝑢 𝑑𝑢=𝑎 − 1 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛−1 𝑢. sin 𝑢 + 𝑛−1 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛−2 𝑢 𝑑𝑢 ,𝑛≥2 contoh 3 cos 6𝑥+2 𝑑𝑥 3𝑥 𝑐𝑜𝑠 4𝑥2+5 𝑑𝑥 6 𝑐𝑜𝑠8𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥

16 Integral Trigonometri
Integral Tangen tan 𝑢 𝑑𝑢=ln⁡( sec 𝑥)+𝐶=−ln⁡( cos 𝑥)+𝐶 a tan 𝑢 𝑑𝑢=a ln⁡( sec 𝑥)+𝐶=−𝑎 ln⁡( cos 𝑥)+𝐶 a tan (𝐴𝑥+𝐵) 𝑑𝑥= 𝑎 𝐴 ln[⁡ sec (𝐴𝑥+𝐵)]+𝐶=− 𝑎 𝐴 ln⁡[ cos(A 𝑥+𝐵)]+𝐶 tan𝑛 𝑢 𝑑𝑢= 1 𝑛−1 𝑡𝑎𝑛 𝑛−1 𝑢− 𝑡𝑎𝑛 𝑛−2 𝑢 𝑑𝑢 contoh 3tan⁡(5𝑥+7)𝑑𝑥 3𝑒 2𝑥 tan⁡( 𝑒 2𝑥 +9)𝑑𝑥

17 Integral Trigonometri
Latihan

18 Integral Parsial misalkan u = f(x) dan v=g(x), maka 𝑑[𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ] 𝑑𝑥 =𝑓 𝑥 𝑔 ′ 𝑥 +𝑔 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 jika kedua ruas persamaan tersebut diintegralkan maka didapatkan hasil 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)=∫𝑓 𝑥 𝑔 ′ 𝑥 𝑑𝑥+∫𝑔 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥 atau dapat dituliskan ∫𝑓 𝑥 𝑔 ′ 𝑥 𝑑𝑥=𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 −∫𝑔 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥 v = g(x), maka dv=g’(x) dx dan u = f(x) maka du = f’(x)dx. Sehingga bentuk umum integral parsial adalah sebagai berikut. ∫𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣−∫𝑣𝑑𝑢

19 Integral Parsial Contoh: ∫𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 ∫𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 ∫𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑥2+7𝑥−5 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥

20 Integral Tertentu 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=𝐹 𝑥 | 𝑏 𝑎 =𝐹 𝑏 −𝐹(𝑎)