Aljabar Linear Aflich Yusnita Fitrianna, M.Pd.

Presentasi berjudul: "Aljabar Linear Aflich Yusnita Fitrianna, M.Pd."— Transcript presentasi:

1 Aljabar Linear Aflich Yusnita Fitrianna, M.Pd.
Perubahan Basis Aljabar Linear Aflich Yusnita Fitrianna, M.Pd.

2 Perubahan Basis Matriks Koordinat Perubahan Basis Matriks Transisi
Perubahan Basis Ortonormal

3 Matriks Koordinat Misalkan 𝑆= 𝑣 1 , 𝑣 2 ,⋯, 𝑣 𝑛 merupakansuatu basis bagiruangvektor𝑉. Setiapvektor 𝑣 ∈ 𝑉dapatditulissebagaikombinasi linear darivektor-vektor basis, tulis 𝑣 = 𝑘 1 𝑣 1 + 𝑘 2 𝑣 2 +⋯+ 𝑘 𝑛 𝑣 𝑛 Matrikskoordinat 𝑣 relatifterhadap𝑆 adalah

4 Perubahan Basis Mengubah basis darisuaturuangvektor𝑉 yang semula𝐵menjadi 𝐵 ′ Akibatnya, matrikskoordinatdarisuatu 𝑣 yaitu 𝑣 𝐵 berubah menjadi 𝑣 𝐵 ′

5 Misalkan 𝐵= 𝑢 1 , 𝑢 2 basis lama; dan 𝐵 ′ = 𝑢 ′ , 𝑢 ′ basis baru Misalkanmatrikskoordinatuntukvektor-vektor basis baruterhadap basis lama adalahsebagaiberikut : 𝑢 ′ 𝐵 = 𝑎 𝑏 𝑢 ′ 𝐵 = 𝑐 𝑑 atau 𝑢 ′ =𝑎 𝑢 1 +𝑏 𝑢 2 ⋯1) 𝑢 ′ =𝑎 𝑢 1 + 𝑏 𝑢 2 ⋯2)

6 Misalkan pula 𝑣 suatuvektor di 𝑉danmisalkan
𝑣 𝐵 ′ = 𝑘 1 𝑘 Matriks koordinat 𝒗 relatifterhadapbasis baru 𝑩 ′ atau 𝑣 = 𝑘 1 𝑢 ′ + 𝑘 2 𝑢 ′ ⋯3) Matriks koordinat 𝒗 relatifterhadapbasis lama 𝑩diperolehdengansubstitusi⋯1) dan ⋯2)kedalampersamaan⋯3) 𝑣 = 𝑘 1 𝑢 ′ + 𝑘 2 𝑢 ′ = 𝑘 1 𝑎 𝑢 1 + 𝑏 𝑢 𝑘 2 𝑐 𝑢 1 + 𝑑 𝑢 2 = 𝑘 1 𝑎+ 𝑘 2 𝑐 𝑢 𝑘 1 𝑏+ 𝑘 2 𝑑 𝑢 2

7 𝑣 𝐵 = 𝑘 1 𝑎+ 𝑘 2 𝑐 𝑘 1 𝑏+ 𝑘 2 𝑑 atau 𝑣 𝐵 = 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 𝑘 1 𝑘 2 𝑣 𝐵 = 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 𝑣 𝐵 ′ Selanjutnya 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 disebutmatrikstransisi

8 Matriks Transisi 𝑣 𝐵 =𝑃 𝑣 𝐵 ′
𝑣 𝐵 =𝑃 𝑣 𝐵 ′ 𝑃merupakanmatrikstransisidari basis baru 𝐵 ′ ke basis lama 𝐵. Kolom-kolommatriks𝑃adalahmatriks- matrikskoordinatdarivektor-vektor basis barurelatifterhadap basis lama yaitu 𝑢 ′ 𝐵 , 𝑢 ′ 𝐵 ,⋯, 𝑢 𝑛 ′ 𝐵 Sehingga𝑃= 𝑢 ′ 𝐵 | 𝑢 ′ 𝐵 |⋯| 𝑢 𝑛 ′ 𝐵

9 Contoh Soal 1 Basis 𝐵= 𝑢 1 , 𝑢 2 dan 𝐵 ′ = 𝑢 1 ′ , 𝑢 2 ′ dengan
Tentukan Matrikstransisi𝑃 dari 𝐵 ′ ke 𝐵 𝑣 𝐵 jika 𝑣 𝐵 ′ = −3 5

10 Jawab a). 𝑢 1 ′ =𝑎 𝑢 1 + 𝑏 𝑢 2 1 1 =𝑎 1 0 +𝑏 0 1 →𝑎=1 dan 𝑏=1 sehingga
𝑢 ′ =𝑎 𝑢 1 + 𝑏 𝑢 2 1 1 =𝑎 𝑏 →𝑎=1 dan 𝑏=1 sehingga 𝑢 ′ 𝐵 = 𝑎 𝑏 = 1 1 𝑢 ′ =𝑐 𝑢 1 + 𝑑 𝑢 2 2 1 =𝑐 𝑑 →𝑐=2 dan 𝑑=1 sehingga 𝑢 ′ 𝐵 = 𝑐 𝑑 = 2 1

11 Matriks transisi𝑃 dari 𝐵 ′ ke 𝐵 yaitu 𝑃= 𝑢 1 ′ 𝐵 | 𝑢 2 ′ 𝐵 = 1 2 1 1 b

12 Contoh Soal 2 Diketahui hal yang samadengancontoh1
Tentukanmatrikstransisi𝑄 dari𝐵ke 𝐵 ′ 𝑢 1 =𝑎 𝑢 ′ +𝑏 𝑢 ′ 𝑢 2 =𝑐 𝑢 ′ +𝑑 𝑢 ′ 1 0 =𝑎 𝑏 =𝑐 𝑑 2 1 ~ −1 1 −1 ~ ~ −1 1 𝑎=−1,𝑏=1 Sehingga 𝑢 𝐵 ′ = −1 1

13 ~ − ~ −1 ~ −1 𝑐=2,𝑑=1 Sehingga 𝑢 𝐵 ′ = 2 1 Matriks transisi𝑄 dari 𝐵 ke 𝐵 ′ yaitu 𝑄= 𝑢 𝐵 ′ | 𝑢 𝐵 ′ = −1 2 1 −1 Perhatikanbahwa 𝑃𝑄= −1 2 1 −1 = =𝐼 Sehingga 𝑄= 𝑃 −1

14 Perubahan Basis Ortonormal
Jika 𝑃matrikstransisidarisuatu basis ortonormalke basis ortonormallainnyapada RHKD, maka𝑃merupakansebuahmatriksortogonalden gan 𝑃 −1 = 𝑃 𝑇