INTEGRAL DENGAN MENGGUNAKAN SUBSTITUSI Bila integral tak tentu tidak dapat langsung diintegralkan dng menggunakan rumus-rumus yang telah dibicarakan.

Presentasi berjudul: "INTEGRAL DENGAN MENGGUNAKAN SUBSTITUSI Bila integral tak tentu tidak dapat langsung diintegralkan dng menggunakan rumus-rumus yang telah dibicarakan."— Transcript presentasi:

1 INTEGRAL DENGAN MENGGUNAKAN SUBSTITUSI Bila integral tak tentu tidak dapat langsung diintegralkan dng menggunakan rumus-rumus yang telah dibicarakan didepan , maka kita rubah bentuk integrannya ke suatu bentuk dengan jalan mengganti perubah x, dng suatu fungsi yg mempunyai perubah baru, misal u atau t, sedemikian sehingga dapat diintegralkan dng cara-cara yang sudah diketahui. misal x = f(t) ; mk dx = f’(t) dt

2 1.Substitusi Aljabar

3 Contoh 2:

4 Substitusi Trigonometri
Jika integran memuat bentuk : 1.a2 – u2, substitusi : u= a sin t , du=a cos t dt atau u= a cos t , du=-a sin t dt 2. a2 + u2, substitusi: u= a tg t , du = a sec 2 t dt 3. u2 – a2, substitusi: u = a sec t, du = a sec t tg t dt Dimana : u suatu fungsi , a suatu konstanta

5 Contoh 1:

6 Cara mengembalikan ke variabel x tg t = (5x ) / 4, mk sin t = (5x) / ( )

7 Contoh 2:

8 Cara mengembalikan ke var. semula
Substitusi : x = 2 sin t , mk sin t = x/2, t = arc sin x/2 Jika digambarkan dlm sebuah segitiga siku-siku: cos t = / 2 2 x t

9 INTEGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL
Suatu polinomial dlm x adalah suatu fungsi dng bentuk aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + a3xn an-1 +an dimana ai ( i =1,2,3,...., n) adalah konstante dan n bulat positif dan termasuk nol. Tiap - tiap polinomial dng kofisien riil dapat dinyatakan sebagai perkalian dari faktor-faktor linier yang riil dlm bentuk ax + b dan / atau faktor-faktor kwadratis yang riil dlm bentuk ax2+bx+c Suatu fungsi F(x) = f(x) / g(x) , dimana f(x) dan g(x) adalah polinomial, disebut fungsi pecah rasional

10 1. SEMUA FAKTOR DARI PENYEBUT LINIER DAN BERLAINAN
Jika pecahan rasional , g(x) dapat dinyatakan sebagai perkalian faktor-faktor linier yang berlainan , misalnya : g(x) = (x-a1) (x-a2) (x-a3) (x-a4) (x-an) dimana : a a a a An maka : F(x) = f (x) / g (x ) = Utk menghitung A1,A2,A3, ...An kedua bagian diatas disamakan, atau mengambil harga-harga tertentu. Jadi disini ada dua metode utk menghitung koefisien –koefisien tak tertentu

11 Penyebut : x3-7x+6 = (x-1) (x-2) (x+3)
CONTOH Tentukan Penyebut : x3-7x+6 = (x-1) (x-2) (x+3) Oleh karena itu, pecahan rasional dapat ditulis : Mk dipenuhi bentuk : 2x+1= A1 (x-2) (x+3) + A2 (x-1) (x+3) + A3 (x-1)(x-2) Utk mencari A1,A2 dan A3 diambil dua metode :

12 Metode 1 Bagian kiri identik dng bagian kanan, berarti koefisien-koefisien dari x yang berpangkat sama dari kedua bagian tersebut harus sama Jadi : koefisien x = A1 +A2 +A3 koefisien x = A +2A2 -3 A3 koefisien x = -6A1 -3A2 +2A3 Dari ketiga persamaan diatas, dapat dihitung nilai A1,A2 dan A3, yaitu A1=-3/4 , A2= -1 dan A3= -1/4

13 Diambil harga x yang tertentu : Untuk x = 1 , 3 = - 4A1, mk A1 = - ¾
Metode 2 2x+1= A1 (x-2) (x+3) + A2 (x-1) (x+3) + A3 (x-1)(x-2) Diambil harga x yang tertentu : Untuk x = 1 , 3 = - 4A1, mk A1 = - ¾ Untuk x = 2 , 5 = 5 A2 , mk A2 = 1 Untuk x = -3 , -5 = 20 A3 , mk A3 = -1/4 Ternyata hasilnya sama dengan metode identitas

14 Dimana Ai ( i = 1,2,3,...., n ) konstante yang harus dicari
2. SEMUA FAKTOR DARI PENYEBUT LINIER TETAPI ADA BEBERAPA YANG SAMA ( BERULANG ) Untuk tiap faktor linier ax + b yang timbul n kali dalam penyebut dari pecahan rasional , kita tulis sebagai jumlahan dari n pecahan parsiil dalam bentuk : Dimana Ai ( i = 1,2,3,...., n ) konstante yang harus dicari

15 Contoh :

16 Sedang dng metode 1 , didapat bahwa A +D = 0, maka A = - 1/8

17 3. BEBERAPA FAKTOR PENYEBUT ADALAH KWADRATIS DAN TAK BERULANG
Untuk tiap –tiap faktor yang mempunyai bentuk : ax2 +bx +c , dinyatakan sebagai pecahan dari bentuk :

18 Tentukan :

19 4. BEBERAPA FAKTOR PENYEBUT ADALAH KWADRATIS DAN BERULANG
Untuk faktor kwadratis dengan bentuk ax2+bx+c yang berulang n kali dalam penyebut pada pecahan rasional , ditulis sebagai jumlahan dari n pecahan parsial dalam bentuk : Dimana Ai dan Bi konstante yang harus dicari

20 SOAL HITUNG INTEGRAL BERIKUT :