MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Presentasi berjudul: "MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR"— Transcript presentasi:

1 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
TIM DOSEN Ruang Hasil Kali Dalam 6

2 Sub Pokok Bahasan Aplikasi RHD Definisi Ruang Hasilkali Dalam
Himpunan Orthonormal Proses Gramm Schmidt Aplikasi RHD Metode Optimasi seperti metode least square dalam peminimumam error dalam berbagai bidang rekayasa 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

3 Definisi RHD Misal 𝑉 adalah suatu ruang vector dan 𝑢 , 𝑣 ∈𝑉 maka notasi < 𝑢 , 𝑣 > dinamakan hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut: 1 < 𝑢 , 𝑣 > = < 𝑣 , 𝑢 > SIMETRIS 2. < 𝑢 + 𝑣 , 𝑤 > =< 𝑢 , 𝑤 >+< 𝑣 , 𝑤 > ADITIVITAS 3. Untuk suatu 𝑘∈𝑅, <𝑘 𝑢 , 𝑣 > =< 𝑢 ,𝑘 𝑣 > =𝑘< 𝑢 , 𝑣 > HOMOGENITAS 4. < 𝑢 , 𝑢 > ≥0, untuk setiap 𝑢 dan < 𝑢 , 𝑢 >=0↔ 𝑢 = 0 POSITIVITAS 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

4 Ruang Hasil Kali Dalam Suatu ruang vector yang dilengkapi dengan hasil kali dalam disebut Ruang Hasil Kali Dalam Jika 𝑉 merupakan suatu ruang hasil kali dalam maka norm (panjang) sebuah vector didefinisikan 𝑢 =< 𝑢 , 𝑢 > 1/2 ≥0 Contoh 1: Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( 𝑅 𝑛 ) Misalkan 𝑢 , 𝑣 ∈ 𝑅 𝑛 maka 𝑢 =< 𝑢 , 𝑢 > 1/2 = 𝑢 𝑢 …+ 𝑢 𝑛 2 1/2 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

5 Contoh 2: Misalkan 𝑊⊆ 𝑅 3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali < 𝑢 , 𝑣 > =2 𝑢 1 𝑣 1 + 𝑢 2 𝑣 2 +3 𝑢 3 𝑣 3 , dimana 𝑢 , 𝑣 ∈𝑊. Buktikan bahwa 𝑊 adalah ruang hasilkali dalam Jawab: Misalkan 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 ∈𝑊 1 < 𝑢 , 𝑣 > =2 𝑢 1 𝑣 1 + 𝑢 2 𝑣 2 +3 𝑢 3 𝑣 3 =2 𝑣 1 𝑢 1 + 𝑣 2 𝑢 2 +3 𝑣 3 𝑢 3 = < 𝑣 , 𝑢 > TERBUKTI SIMETRI 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

6 =< 𝑢 , 𝑤 >+< 𝑣 , 𝑤 > TERBUKTI BERSIFAT ADITIVITAS 3
2 < 𝑢 + 𝑣 , 𝑤 > = <( 𝑢 1 + 𝑣 1 , 𝑢 2 + 𝑣 2 , 𝑢 3 + 𝑣 3 ),( 𝑤 1 , 𝑤 2 , 𝑤 3 ) > =2 𝑢 1 + 𝑣 1 𝑤 1 + (𝑢 2 + 𝑣 2 ) 𝑤 𝑢 3 + 𝑣 3 𝑤 3 =2 𝑢 1 𝑤 1 +2 𝑣 1 𝑤 1 + 𝑢 2 𝑤 2 + 𝑣 2 𝑤 2 +3 𝑢 3 𝑤 3 +3 𝑣 3 𝑤 3 =2 𝑢 1 𝑤 1 + 𝑢 2 𝑤 2 +3 𝑢 3 𝑤 3 +2 𝑣 1 𝑤 1 + 𝑣 2 𝑤 2 +3 𝑣 3 𝑤 3 =< 𝑢 , 𝑤 >+< 𝑣 , 𝑤 > TERBUKTI BERSIFAT ADITIVITAS 3 Untuk suatu 𝑘∈𝑅 <𝑘 𝑢 , 𝑣 > = < 𝑘 𝑢 1 ,𝑘 𝑢 2 ,𝑘 𝑢 3 ,( 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 )> =2𝑘 𝑢 1 𝑣 1 +𝑘 𝑢 2 𝑣 2 +3𝑘 𝑢 3 𝑣 3 =𝑘 2 𝑢 1 𝑣 1 + 𝑢 2 𝑣 2 +3 𝑢 3 𝑣 3 =2 𝑢 1 𝑘 𝑣 1 + 𝑢 2 𝑘𝑣 2 +3 𝑢 3 𝑘 𝑣 3 =𝑘< 𝑢 , v > = < 𝑢 ,𝑘 v >TERBUKTI BERSIFAT HOMOGENITAS 4 < 𝑢 , 𝑢 > = 2 𝑢 1 𝑢 1 + 𝑢 2 𝑢 2 +3 𝑢 3 𝑢 3 =2 𝑢 𝑢 𝑢 3 2 Jelas bahwa< 𝑢 , 𝑢 > ≥0 untuk setiap 𝑢 dan < 𝑢 , 𝑢 > =0 hanya jika 𝑢 = 0 TERBUKTI BERSIFAT POSITIVITAS 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

7 Buktikan bahwa 𝑊 adalah bukan ruang hasilkali dalam Jawab:
Contoh 3: Misalkan 𝑊⊆ 𝑅 3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali < 𝑢 , 𝑣 > = 𝑢 1 𝑣 1 + 2𝑢 2 𝑣 2 −3 𝑢 3 𝑣 3 , dimana 𝑢 , 𝑣 ∈𝑊. Buktikan bahwa 𝑊 adalah bukan ruang hasilkali dalam Jawab: Perhatikan bahwa < 𝑢 , 𝑢 > = 𝑢 1 𝑢 1 + 2𝑢 2 𝑢 2 −3 𝑢 3 𝑢 3 = 𝑢 𝑢 2 2 −3 𝑢 3 2 Jika 3 𝑢 3 2 > 𝑢 𝑢 2 2 maka < 𝑢 , 𝑢 > ≤0. TIDAK MEMENUHI SIFAT POSITIVITAS 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

8 Contoh 4: Diketahui < 𝑢 , 𝑣 > =𝑎𝑑+𝑐𝑓, dimana 𝑢 =(𝑎,𝑏,𝑐) dan 𝑣 = 𝑑,𝑒,𝑓 . Apakah < 𝑢 , 𝑣 > merupakan hasil kali dalam? Jawab: Jelas bahwa < 𝑢 , 𝑢 > = 𝑎 2 + 𝑐 2 ≥0 Misalkan 𝑢 =(0,2,0) diperoleh < 𝑢 , 𝑢 > =0. Padahal 𝑢 ≠ 0 (Aksioma terakhir tidak terpenuhi) Jadi, < 𝑢 , 𝑣 > =𝑎𝑑+𝑐𝑓 bukan merupakan hasil kali dalam 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

9 Himpunan Ortonormal Sebuah himpunan vector pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan orthogonal Jika semua pasangan vector yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah orthogonal (saling tegak lurus). Himpunan ortonormal → himpunan orthogonal yang setiap vectornya memiliki panjang (normnya) satu. 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

10 #SecaraOperasional Misalkan, 𝑇={ 𝑐 1 , 𝑐 2 , …, 𝑐 𝑛 } pada suatu RHD 𝑇 dikatakan himpunan vector orthogonal jika < 𝑐 𝑖 , 𝑐 𝑗 > =0 untuk setiap 𝑖≠𝑗 Sedangkan, 𝑇 dikatakan himpunan vector orthonormal jika untuk setiap 𝑖 berlaku 𝑐 𝑖 =1 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

11 𝐴= 1 0 , −1 0 Pada RHD Euclides, 𝐴 bukan himpunan ortogonal
Contoh 5: 𝐴= , − Pada RHD Euclides, 𝐴 bukan himpunan ortogonal 𝐵= , 0 −1 Pada RHD Euclides, 𝐵 merupakan himpunan orthonormal 𝐶= , − Pada RHD Euclides, 𝐶 merupakan himpunan orthonormal 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

12 Perhatikan bahwa, untuk suatu 𝑖 berlaku:
Misalkan 𝑆={ 𝑣 1 , 𝑣 2 , …, 𝑣 𝑛 } adalah basis orthonormal untuk RHD 𝑉. Jika 𝑢 adalah sembarang vector pada 𝑉, maka 𝑢 = 𝑘 1 𝑣 1 + 𝑘 2 𝑣 2 +…+ 𝑘 𝑛 𝑣 𝑛 Perhatikan bahwa, untuk suatu 𝑖 berlaku: < 𝑢 , 𝑣 𝑖 > = <𝑘 1 𝑣 1 + 𝑘 2 𝑣 2 +…+ 𝑘 𝑛 𝑣 𝑛 , 𝑣 𝑖 > = 𝑘 1 < 𝑣 1 , 𝑣 𝑖 >+ 𝑘 2 < 𝑣 2 , 𝑣 𝑖 >+…+ 𝑘 𝑖 < 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖 >+…+ 𝑘 𝑛 < 𝑣 𝑛 , 𝑣 𝑖 > Karena 𝑆 merupakan himpunan orthonormal maka < 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 > =0 untuk setiap 𝑖≠𝑗 dan < 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖 > =1 untuk setiap 𝑖 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

13 Sehingga untuk setiap 𝑖 berlaku < 𝑢 , 𝑣 𝑖 > = 𝑘 𝑖 Kombinasi linear 𝑢 = 𝑘 1 𝑣 1 + 𝑘 2 𝑣 2 +…+ 𝑘 𝑛 𝑣 𝑛 Ditulis menjadi 𝑢 =< 𝑢 , 𝑣 1 > 𝑣 1 +< 𝑢 , 𝑣 2 > 𝑣 2 +…+< 𝑢 , 𝑣 𝑛 > 𝑣 𝑛 Contoh 6: Tentukan kombinasi linear dari 𝑎 = 1 2 pada RHD Euclides berupa bidang yang dibangun 𝑢 = 1/ 2 1/ 2 dan 𝑣 = 1/ 2 −1/ 2 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

14 Jawab: 𝑎 = 𝑘 1 𝑢 + 𝑘 2 𝑣 𝑎 =< 𝑎 , 𝑢 > 𝑢 +< 𝑎 , 𝑣 > 𝑣 𝑎 = 1 2 =< 1 2 , 1/ 2 1/ 2 > 𝑢 +< 1 2 , 1/ 2 −1/ 2 > 1/ 2 −1/ 2 𝑣 𝑎 = 3 2 𝑢 +(− 1 2 ) 𝑣 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

15 Proses Gramm- Schmidth
Basis bagi Suatu RHD V 𝑆= 𝑐 1 , 𝑐 2 ,…, 𝑐 𝑛 Basis Orthonormal bagi V 𝐵= 𝑤 1 , 𝑤 2 ,…, 𝑤 𝑛 Langkah yang dilakukan : 1. 𝑤 1 = 𝑐 1 | 𝑐 1 | 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

16 2. Langkah kedua 𝑐 2 → 𝑤 2 Karena 𝑝 1 =𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑤 1 𝑐 2 =< 𝑐 2 , 𝑤 1 > 𝑤 1 dan 𝑞 1 = 𝑐 2 − 𝑝 1 maka 𝑤 2 = 𝑐 2 −< 𝑐 2 , 𝑤 1 > 𝑤 1 | 𝑐 2 −< 𝑐 2 , 𝑤 1 > 𝑤 1 | 𝑐 2 𝑞 1 𝑤 2 𝑤 1 𝑝 1 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

17 3. Langkah ketiga 𝑐 3 → 𝑤 3 𝑝 2 =𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑊 𝑐 3 =< 𝑐 3 , 𝑤 1 > 𝑤 1 +< 𝑐 3 , 𝑤 2 > 𝑤 2 dan 𝑞 2 = 𝑐 3 − 𝑝 2 maka 𝑤 3 = 𝑐 3 −< 𝑐 3 , 𝑤 1 > 𝑤 1 +< 𝑐 3 , 𝑤 2 > 𝑤 2 | 𝑐 3 −< 𝑐 3 , 𝑤 1 > 𝑤 1 +< 𝑐 3 , 𝑤 2 > 𝑤 2 | W 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

18 Contoh 7: Diketahui: 𝐵= 𝑢 1 = , 𝑢 2 = , 𝑢 3 = 𝐵 merupakan basis pada RHD Euclides di 𝑅 3 . Transformasikan basis tersebut menjadi basis Ortonormal Jawab: Langkah 1. 𝑣 1 = 𝑢 1 | 𝑢 1 | = (1,1,1) 3 = 1 3 , 1 3 , 1 3 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

19 Langkah 2. 𝑣 2 = 𝑢 2 −𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑣 1 𝑢 2 | 𝑢 2 −𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑣 1 𝑢 2 | Karena 𝑢 2 −𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑣 1 𝑢 2 = 𝑢 2 − < 𝑢 2 , 𝑣 1 > 𝑣 1 = 0,1,1 − 2 3 ( , 1 3 ) Maka 𝑢 2 −𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑣 1 𝑢 2 = = = 6 3 Sehingga 𝑣 2 = − 2 6 , 1 6 , 1 6 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

20 Langkah 3. 𝑣 3 = 𝑢 3 −𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑊 𝑢 3 | 𝑢 3 −𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑊 𝑢 3 | Karena 𝑢 3 −𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑊 𝑢 3 = 𝑢 3 − < 𝑢 3 , 𝑣 1 > 𝑣 1 − < 𝑢 3 , 𝑣 2 > 𝑣 2 = 0,0,1 − , 1 3 − 1 6 (− , 1 6 ) =(0,− 1 2 , 1 2 ) Maka 𝑢 3 −𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑊 𝑢 3 = − = = 1 2 Sehingga 𝑣 3 = 0,− 1 2 , 1 2 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

21 Jadi 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 = , − , 0 − Merupakan basis orthonormal untuk ruang vector 𝑅 3 dengan hasil kali dalam Euclides. 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

22 Contoh 8: Diketahui bidang yang dibangun oleh , merupakan subruang dari RHD Euclides di 𝑅 3 . Tentukan proyeksi orthogonal dari vector 𝑢 = pada bidang tersebut. 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

23 Jawab: Diketahui 𝑣 1 = , 𝑣 Merupakan basis bagi subruang pada RHD tersebut. Karena { 𝑣 1 , 𝑣 2 } selain membangun subruang pada RHD himpunan tersebut juga saling bebas linear (terlihat bahwa ia tidak saling berkelipatan) Langkah 1. 𝑤 1 = 𝑣 1 | 𝑣 1 | = (1,0,1) = (1,0,1) 2 = 1 2 ,0, 1 2 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

24 Perhatikan bahwa: < 𝑣 2 , 𝑤 1 > = < 0,1,1 1 2 , 0, 1 2 > = = 1 2 Sehingga < 𝑣 2 , 𝑤 1 > 𝑤 1 = , 0, 1 2 =( 1 2 , 0 , 1 2 ) 𝑣 2 < 𝑣 2 , 𝑤 1 > 𝑤 1 = 0,1,1 − 1 2 , 0, 1 2 =(− 1 2 ,1 , 1 2 ) Akibatnya: 𝑣 2 < 𝑣 2 , 𝑤 1 > 𝑤 1 = − = = 6 4 = 1 2 6 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

25 Akibatnya, diperoleh 𝑤 2 = 𝑣 2 < 𝑣 2 , 𝑤 1 > 𝑤 1 𝑣 2 < 𝑣 2 , 𝑤 1 > 𝑤 1 = (− 1 2 ,1 , 1 2 ) = − 1 6 , 2 6 , 1 6 Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tersebut adalah , − 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

26 Proyeksi Orthogonal Vektor 𝑢 = 1 1 1
𝑢 = Pada bidang tersebut adalah 𝑃𝑟𝑜 𝑗 𝑊 𝑢 =< 𝑢 , 𝑤 1 > 𝑤 1 +< 𝑢 , 𝑤 2 > 𝑤 2 Perhatikan bahwa: < 𝑢 , 𝑤 1 > = < 1,1, , 0 , > = = = 2 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

27 Sementara itu: < 𝑢 , 𝑤 2 > = < 1,1,1 − 1 6 , 2 6 , 1 6 > =− = 2 6 Dengan demikian 𝑃𝑟𝑜 𝑗 𝑊 𝑢 =< 𝑢 , 𝑤 1 > 𝑤 1 +< 𝑢 , 𝑤 2 > 𝑤 2 = 1,0,1 + − 1 3 , 2 3 , 1 3 =( 2 3 , 2 3 , 4 3 ) 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

28 LATIHAN Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam atau bukan < 𝑢 , 𝑣 > = 𝑢 1 2 𝑣 1 + 𝑢 2 𝑣 2 2 di 𝑅 2 < 𝑢 , 𝑣 > = 𝑢 1 𝑣 1 +2 𝑢 2 𝑣 2 − 𝑢 3 𝑣 3 di 𝑅 3 < 𝑢 , 𝑣 > = 𝑢 1 2 𝑣 3 + 𝑢 2 𝑣 2 + 𝑢 3 𝑣 1 di 𝑅 3 Tentukan nilai 𝑘 sehingga vector (𝑘,𝑘,1) dan vector (𝑘,5,6) adalah orthogonal dalam ruang Euclides! 𝑊 merupakan subruang RHD Euclides di 𝑅 3 yang dibangun oleh vector 𝑑𝑎𝑛 −1 Tentukan proyeksi orthogonal vector − pada W 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

29