Matriks dan Regresi TOTOK MUJIONO.

Presentasi berjudul: "Matriks dan Regresi TOTOK MUJIONO."— Transcript presentasi:

1 Matriks dan Regresi TOTOK MUJIONO

2 Matriks dan Vektor Matriks adalah array persegi yang tersusun atas bilangan dan biasanya diberikan dalam huruf besar dan tebal. Matriks dengan m baris dan n kolom adalah matriks berdimensi m x n. Elemen matriks dinyatakan Ai,j atau A[i,j]. Contoh: matris B dengan dimensi 2 x 3. Vektor kolom adalah matriks dengan 1 kolom yakni m x 1. Vektor baris adalah matriks dengan 1 baris, yakni 1 x n. Vektor dinyatakan dalam huruf kecil tebal. Contoh vektor baris dan kolom masing-masing adalah c dan d. 𝐀= 𝑎 11 ⋯ 𝑎 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑚1 ⋯ 𝑎 𝑚𝑛 𝐁= 𝐝= 𝑑 1 … 𝑑 𝑚 𝐜= 𝑐 1 𝑐 2 ⋯ 𝑐 𝑛−1 𝑐 𝑛

3 Operasi Matriks dan vektor
Penjumlahan dan perkalian skalar. Penjumlahan dan perkalian hadamard (*). Perkalian Matriks. Jika A adalah matriks m x p dan B matriks p x n, dapat dihitung C=AB dimana C adalah matriks m x n. Transpose dari matriks m x n adalah n x m matriks, 𝐁= 3+𝐁= 𝟐𝐁= 𝐀= 𝐁= 𝐀+𝐁= 𝐀∗𝐁= 𝑪= 𝒌=𝟏 𝒑 𝑨 𝒊,𝒌 𝑩 𝒌,𝒋 𝐂= 𝐁𝐂= 𝐁= 𝐁 𝑻 = 𝐁= 𝐀 𝒊,𝒋 𝑻 = 𝐀 𝑗,𝑖

4 Operasi Matriks dan Vektor
Matriks Identitas In adalah matriks yang memiliki nilai 1 pada diagonalnya, lainnya 0. 𝐼 3 = Jika A adalah matriks n x n, matriks inversinya A-1 adalah matriks n x n sehingga AA-1 = A-1A = In. 𝐃= 𝐷 −1 = − − − −0.2727 𝐃 𝑫 −𝟏 =

5 Operasi Matriks dan Vektor
Rank dari sebuah matriks A, Rank(A), adalah jumlah baris/kolom pada sebuah matriks yang independen secara linear. Rank (A) = 2 Baris ke 3 adalah penjumlahan dari baris pertama dan kedua, sehingga tidak independen

6 Determinan Matriks n = 1 D = det(A) = a1,1 Matriks n = 2 atau lebih
D = a1,kC1,k + a2,kC2,k an,kCn,k (k=1, 2, ..., atau n) atau D = aj,1Cj,1 + aj,2Cj, aj,nCj,n (j=1, 2, ..., atau n) dengan kofaktor Cj,k Cj,k = (-1)j+kMj,k dimana Mjk adalah matriks n-1 tanpa baris j dan kolom k, disebut minor dari aj,k.

7 Contoh determinan matriks 3x3
b1,1 = 3 b1,2 = 0 b1,3 = 1 𝐁= 𝐌 1,1 = 𝐌 1,2 = 𝐌 1,3 = C1,1 = (-1)2M1,1 C1,2 = (-1)3M1,2 C1,3 = (-1)4M1,3 𝐃= − = 3(2-9) - 0(1-6) + 1(3-4) = -22 Catatan: Matriks dengan determinan = 0 tidak memiliki inversi. Matriks n x n memiliki rank = n jika dan hanya jika memiliki determinan tidak sama dengan 0.

8 Matriks Adjoint Adjoint dari matriks A ditulis adj(A) adalah transpose dari matriks kofaktor dari A. 𝐀= 𝐂 1,1 = − = -7 𝐂 1,2 = − = 5 𝐂 1,3 = − = -1 𝐂 2,1 = − = 3 𝐂 2,2 = − = 1 𝐂 2,3 = − = -9 𝐂 3,1 = − = -2 𝐂 3,2 = − = -8 𝐂 3,3 = − = 6 −7 5 −1 3 1 −9 −2 −8 6 adj (𝐀)= −7 3 −2 5 1 −8 −1 −9 6 Matriks kofaktor:

9 Matriks Adjoint dan Inversi
𝑨 −1 = 1 det 𝑨 𝑎𝑑𝑗(𝑨) Untuk matriks A diatas: 𝐀= adj (𝐀)= −7 3 −2 8 1 −8 −1 −9 6 𝐃= -22 𝑨 −1 = 1 −22 −7 3 −2 8 1 −8 −1 −9 0 𝐴 −1 = − − − −0.2727

10 Eigenvalue dan eigenvektor suatu matriks
Eigenvalue λ dan eigenvektor u suatu matriks A, memenuhi: Au = λu, A adalah matriks persegi Dapat ditulis kembali: Au – λu = (A – λI)u = 0 Memiliki solusi jika dan hanya jika det(A – λI) = 0. Eigen value adalah akar-akar dari determinan. Subtitusi λ kedalam persamaan, diperoleh u.

11 Contoh eigenvalue dan eigenvektor
𝐀= Dapatkan eigenvalue dari matriks det 𝐀 = 3−λ −λ −λ =0 Yang memenuhi persamaan diatas adalah λ=5,18; λ=2.5; λ=-1.7 Eigenvectornya adalah: 𝐮= −2,2965 −0,6946 −0,1677 −0, ,6342 −0,5940 −0, , ,7868

12 Pendahuluan Regresi Data Masukan DENSITY ESTIMATOR Probabilitas Data
CLASSIFIER Prediksi kategori Data Masukan REGRESOR Prediksi nilai

13 Regresi Linear Diberikan input X, ingin didapatkan output Y nya.
Y dan X dihubungkan dgn persamaan: Y = WX + ε Y : nilai yg akan diprediksi W : Parameter X : Data hasil observasi. ε : noise dari pengukuran, dll. Misalnya memprediksi tinggi badan (Y) dari umurnya (X). X Y

14 Regresi Linear Tujuannya adalah menentukan W dari data, pasangan <Xi,Yi>. Y dan X dihubungkan dengan pendekatan least square: Misalnya memprediksi tinggi badan (Y) dari umur (X). Dipakai least square karena: Meminimalisasi jarak antara pengukuran dan prediksi. Mudah dihitung. Jika noise adalah gaussian dengan rata-rata 0, LS adalah maximum likelihood untuk estimasi W. X Y

15 Penyelesaian Regresi Linear
Menurunkan persamaan least square terhadap W, kemudian di set sama dgn 0. atau

16 Regresi tidak meliwati titik asal
dimana

17 Contoh Kasus Melewati titik asal (W = 13.65)
Tabel tinggi badan terhadap berat badan Umur (thn) Tinggi badan (cm) 4 90 6 100 7 115 9 125 12 130 Melewati titik asal (W = 13.65) Tidak melewati titik asal (W0 = dan W1=8.65)

18 Regresi multivariate y X Jika terdapat lebih dari satu input:
Dalam bentuk matriks (huruf tebal): y X