KALKULUS II TEKNIK INTEGRASI

Presentasi berjudul: "KALKULUS II TEKNIK INTEGRASI"— Transcript presentasi:

1 KALKULUS II TEKNIK INTEGRASI
Dosen Pengampu : GUNAWAN.ST.,MT

2 1. Integrasi Parsial Formula Integral Parsial : Tips : pilih 𝑢 yang turunannya lebih sederhana Contoh : Hitung Misal 𝑢 = 𝑥, maka 𝑑𝑢=𝑑𝑥 sehingga

3 Integral parsial dapat dilakukan lebih dari satu kali
Contoh : Hitung Jawab Integral parsial (i) Misal 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑣=−𝑐𝑜𝑠𝑥 (ii) Misal 𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑠𝑖𝑛𝑥

4 Ada kemungkinan integran (𝑓(𝑥)) muncul lagi diruas kanan
Contoh : Hitung Integral parsial Jawab : (i) Misal 𝑑𝑣=𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝑣=𝑠𝑖𝑛𝑥 (ii) Misal Integral yang dicari, bawa keruas kiri 𝑑𝑣 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑣=−𝑐𝑜𝑠𝑥

5 Soal latihan Hitung 1. 2. 3. 𝑥 𝑒 −𝑥 dx 4. 𝑥 2 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 5. 𝑡 𝑒 4𝑡 𝑑𝑡 6.

6 Rumus-rumus reduksi untuk sinus dan cosinus
Misal n adalah bilangan bulat positif, dan 𝑛≥2, maka dengan menggunakan integrasi parsial diperoleh : 𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝑥 𝑑𝑥=− 1 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛−1 𝑥 cos 𝑥 + 𝑛−1 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛−2 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥= 1 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛−1 𝑥 sin 𝑥 + 𝑛−1 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛−2 𝑥 𝑑𝑥 Cek kebenaran rumus tsb! Tuliskan 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥= 𝑐𝑜𝑠 𝑛−1 𝑥∙ cos 𝑥

7 Contoh soal! 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 𝑑𝑥 =… Jawab :
𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 𝑑𝑥 = 1 3 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 1 3 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥 +𝐶 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 𝑑𝑥 =… 𝑠𝑖𝑛 3 𝑥 𝑑𝑥 =…

8 2. Integral Fungsi Trigonometri
Metode menyelesaikan integral bentuk : 𝑠𝑖𝑛 𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 dengan 𝑚 dan 𝑛 bilangan bulat tak negatif. Integral dengan bentuk 𝑠𝑖𝑛 𝑚 𝑥 𝑑𝑥 dan 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus reduksi.

9 2. Integral Fungsi Trigonometri
Terdapat metode alternatif lebih sederhana, yang memerlukan identitas trigonometri berikut : 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥= 1 2 (1− cos 2𝑥 ) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥= 1 2 (1+ cos 2𝑥 ) yang diperoleh dari rumus ganda cos 2𝑥 =1−2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 dan cos 2𝑥 =2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥−1

10 2. Integral Fungsi Trigonometri
Contoh : 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑑𝑥= (1− cos 2𝑥 ) 𝑑𝑥= 1 2 𝑥− 1 4 sin 2𝑥 +𝐶 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥= (1+ cos 2𝑥 ) 𝑑𝑥= 1 2 𝑥 sin 2𝑥 +𝐶

11 2. Integral Fungsi Trigonometri
Untuk 𝑚 dan 𝑛 bilangan bulat positif, maka integral 𝑠𝑖𝑛 𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 dapat diselesaikan dengan salah satu dari prosedur berikut : * Untuk 𝑚 ganjil, 𝑚=2𝑘+1, 𝑘≥0. Tuliskan : dan gunakan identitas terkait * Untuk 𝑛 ganjil, 𝑛=2𝑙+1, 𝑙≥0 .Tuliskan : dan gunakan identitas

12 2. Integral Fungsi Trigonometri
* Untuk 𝑚 genap, 𝑚=2𝑘, 𝑘≥0. Gunakan identitas terkait Untuk 𝑛 genap, 𝑛=2𝑘, 𝑘≥0.

13 Contoh 1 dengan menggunakan identitas terkait, diperoleh :
Hitung Jawab : 𝑚=4 →𝑚 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 𝑠𝑖𝑛 4 𝑥 𝑑𝑥= 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 2 𝑑𝑥= (1− cos 2𝑥 ) 2 = − 2 cos 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 𝑑𝑥 dengan menggunakan identitas terkait, diperoleh : 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥= cos 4𝑥 = cos 4𝑥 Jadi penyelesaiannya, 𝑠𝑖𝑛 4 𝑥 𝑑𝑥= −2 cos 2𝑥 cos 4𝑥 𝑑𝑥= 3 8 𝑥− 1 4 sin 2𝑥 sin 4𝑥 +𝐶

14 Contoh 2 Hitung Jawab :

15 Pengintegralan Perpangkatan Sinus dan Cosinus
Bentuk Untuk 𝑛 atau 𝑚 ganjil, keluarkan sin⁡𝑥 atau cos⁡𝑥 dan gunakan identitas Untuk 𝑚 atau 𝑛 genap, tuliskan menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan identitas .

16 Contoh :

17 Bentuk Gunakan identitas Serta turunan tangen dan kotangen Contoh : a.
The hell

18 b.

19 Soal Latihan Hitung : 1. 2. 3. 4. 5.

20 Tugas (lihat papan tulis)