Integral Bergantung Lintasan

Presentasi berjudul: "Integral Bergantung Lintasan"— Transcript presentasi:

1 Integral Bergantung Lintasan
Integral Kompleks Lintasan Integral Bergantung Lintasan Integral Bebas (Tidak Bergantung) Lintasan Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

2 Variabel Kompleks (MA 2113)
Lintasan # 1 Misal z(t) : I  C merupakan fungsi kompleks dengan domain real, I = [ a, b ], maka fungsi z(t) dinyatakan : z(t) merupakan lintasan dari A ke B, notasi : C Re = x(t) Im = y(t) B = z(b) C A = z(a) Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

3 Variabel Kompleks (MA 2113)
Contoh Gambarkan bentuk lintasan C untuk –1  t  1 yang dinyatakan : x((t) = t  1 C -1 1 Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

4 Variabel Kompleks (MA 2113)
Lintasan # 2 Turunan dan Integral dari persamaan lintasan dinyatakan sebagai berikut : Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

5 Contoh Hitung turunan dan integral dari persamaan lintasan berikut :
Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

6 Variabel Kompleks (MA 2113)
Jenis Lintasan (1). Lintasan Buka Def : bila ujung lintasan tidak berimpit (2). Lintasan Tutup Def : bila ujung lintasan berimpit (a). Lintasan Tutup Sederhana (b). Lintasan Tutup Tidak Sederhana C C C C Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

7 Variabel Kompleks (MA 2113)
Integral Lintasan Integral dari fungsi kompleks f(z) atas lintasan C disebut integral lintasan atau integral garis atau integral contour dan dinyatakan : C : lintasan tutup Sifat integral lintasan : C1 C2 C z1 z0 Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

8 Integral Bergantung Lintasan # 1
Jenis lintasan : Lingkaran Ellips Garis Kurva Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

9 Integral Bergantung Lintasan # 2 - LINGKARAN
C a - a Y ( x, y ) C : z(t) = x(t) + i y(t) ; 0  t  2 r t = r cos t + i r sin t = r ( cos t + i sin t ) = r eit z(t) C a i - a i X Y z0 C : z(t) = z0 + r eit, 0  t  2 Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

10 Variabel Kompleks (MA 2113)
Contoh Hitung integral dari f(z) = x - iy atas lintasan C berbentuk lingkaran satuan dengan arah berlawanan jarum jam ; 0  t  2 ; x = cos t dan y = sin t Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

11 Integral Bergantung Lintasan # 3 ELLIPS
(x0,y0) ( x,y ) t x0 +a x0- a y0+b y0- b z(t) = z0 + a cos t + i b sin t dengan 0  t  2 dan z0 = ( x0,y0 ) Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

12 Variabel Kompleks (MA 2113)
Contoh Hitung integral dari f(z) = x - i y dan lintasan C berlawanan arah dengan jarum jam berbentuk ellips :  z(t) = cos t + 2 i sin t , dengan 0  t  2 z ‘ ( t ) = - sin t + 2 i cos t Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

13 Integral Bergantung Lintasan # 4 GARIS
Ruas garis dari titik z0 ke titik z1 t = 1 z0 z1 Dipilih untuk 0  t  1 t = ¾ t = ½ t = 0 t = ¼ t = ½  z(t) = z0 + ½ ( z1 – z0 ) t = 1/4  z(t) = z0 + 1/4 ( z1 – z0 ) t = 3/4  z(t) = z0 + 3/4 ( z1 – z0 ) Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

14 Variabel Kompleks (MA 2113)
Contoh Hitung integral dari : atas ruas garis dari z = 0 ke z = 1 + i z(t) = t + ti , dengan 0  t  1 z ‘ (t) = 1 + i Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

15 Integral Bergantung Lintasan # 5 KURVA
Lintasan C berupa kurva y = f(x) dari titik (x0,y0) ke (x1,y1). y = f(x) (x1,y1) (x0,y0) C Misal x = t maka z(t) = t + i f(t) dengan x0 t  x1 Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

16 Variabel Kompleks (MA 2113)
Contoh Hitung integral dari f(z) atas lintasan C sepanjang kurva y = x2 dari titik ( 0,0 ) ke titik ( 1,1 ). lintasan C : z(t) = x(t) + i y(t) = t + i t2 dengan 0 t  1 Turunan dari z(t) , z ‘ (t) = 1+ 2 i t Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

17 Variabel Kompleks (MA 2113)
Soal Latihan Nyatakan dalam z = z(t), a  t  b Segmen garis dari z = 2 + 3i ke z = -2i + 4 Segmen garis dari z = 3 – i ke z = 2 + i | z – 3i| = 1 dengan arah berlawanan jarum jam | z + 2 – i| = 2 dengan arah positif y = 2x – x2 dari (0,0) ke (1,1) y = 1 + x2 dari (-1,2) ke (2,5) Hitung integral dari fungsi f(z) atas lintasan C f(z) = 2z + i ( z - 2) dengan C dari 1(a) f(z) = 2x + i ( x + 2y) dengan C dari 1(d) f(z) = Im ( z2 – i) dengan C dari 1(e) Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

18 Integral Bebas Lintasan # 1
Domain D disebut tersambung sederhana bila setiap lintasan tutup sederhana dalam D melingkupi titik-titik pada D. D Tersambung Sederhana Tidak Tersambung Sederhana D Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

19 Integral Bebas Lintasan # 2
Integral fungsi f(z) yang analitik pada D, domain tersambung sederhana terhadap setiap lintasan C  D yang menghubungkan dari titik a ke b dengan F ‘ (z ) = f ( z ) untuk z di D Disebut integral Bebas Lintasan artinya nilai integral akan sama untuk setiap bentuk lintasan asalkan lintasan mempunyai ujung yang sama Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

20 Integral Bebas Lintasan # 2
Misal integral dari fungsi f(z) analitik terhadap lintasan tutup C bebas lintasan, maka : Contoh : Hitung integral f(z) = z sin z pada lintasan C berupa ruas garis yang menghubungkan dari titik (,3) ke titik (2,- ) f(z) = z sin z : fungsi entire, sehingga analitik pada domain tersambung sederhana yang memuat lintasan C. Oleh karena itu, integral lintasan dari f(z) tidak bergantung (bebas ) dari bentuk lintasan. Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

21 Integral Bebas Lintasan # 3
Gunakan Integral parsial : u = z  du =dz dv = sin z dz  v = -cos z Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

22 Variabel Kompleks (MA 2113)
Soal Latihan Apakah integral dari f(z) atas lintasan C bebas lintasan ? Cari nilai integralnya f(z) = e-2z dan C ; segmen garis dari (-2,1) ke (3,2) f(z) = 1 / ( z – 4i) dan C lingkaran satuan dengan arah berlawanan jarum jam f(z) = x2 – 2xy – y2 + i ( x2 + 2xy – y2) dan C merupakan kurva y = 2x2 – 3 dari titik ( 0,-3) menuju titik (2,5) Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)