Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul

Presentasi berjudul: "Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul"— Transcript presentasi:

1 Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul
Kuliah 4 2. HIMPUNAN Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul

2 Pekerjaan Rumah (PR 3) Diberikan U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } sebagai sebuah himpunan semesta dan diberikan pula: A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 4, 5, 6, 7 }, C = { 5, 6, 7, 8, 9 }, D = { 1, 3, 5, 7, 9 }, E = { 2, 4, 6, 8 }, F = { 1, 5, 9 }. Tentukanlah: a) A  C b) A  B c) A  F d) (C  D)  E e) (F – C) – A

3 Solusi Pekerjaan Rumah (PR 3)
B = { 4, 5, 6, 7 }, C = { 5, 6, 7, 8, 9 }, D = { 1, 3, 5, 7, 9 }, E = { 2, 4, 6, 8 }, F = { 1, 5, 9 }. a) A  C b) A  B c) A  F d) (C  D)  E e) (F – C) – A = { 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } = U = { 4, 5 } = { 6, 7, 8, 9 }  { 1, 5, 9 } = { 9 } = { 1, 3, 6, 8 }  { 2, 4, 6, 8 } = { 1, 2, 3, 4 } = { 1 } – { 1, 2, 3, 4, 5 } = 

4 Prinsip Dualitas Prinsip Dualitas dikatakan berlaku pada saat dua konsep yang berbeda dapat saling dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

5 Prinsip Dualitas Contoh:
Di Amerika Serikat kemudi mobil terletak di depan kiri. Di Inggris kemudi mobil terletak di depan kanan. Peraturan: Di Amerika Serikat: Mobil harus berjalan di bagian kanan jalan. Lajur kiri digunakan untuk mendahului. Pada lampu lalu lintas, belok kanan jalan terus. Di Inggris: Mobil harus berjalan di bagian kiri jalan. Lajur kanan digunakan untuk mendahului. Pada lampu lalu lintas, belok kiri jalan terus. Dalam hal ini berlalu Prinsip Dualitas: Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris, dan demikian juga sebaliknya.

6 Prinsip Dualitas pada Himpunan
Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti irisan, gabungan, komplemen, selisih, dan selisih simetris. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti         U U   sementara komplemen dibiarkan tetap seperti semula, maka kesamaan S* juga akan benar dan disebut dual dari S.

7 Dualitas Hukum-Hukum Aljabar Himpunan
        U U   Komplemen tetap Dual Dual Dual Dual

8 Dualitas Hukum-Hukum Aljabar Himpunan
        U U   Komplemen tetap Dual Dual Dual Dual Dual

9 Prinsip Dualitas pada Himpunan
Contoh: Dual dari (A  B)  (A  B) = A adalah: (A  B)  (A  B) = A

10 Prinsip Inklusi - Eksklusi
Untuk sembarang dua himpunan A dan B berlaku: A  B = A + B – A  B A  B = A + B – 2A  B A  B A  B

11 Prinsip Inklusi - Eksklusi
Contoh: Pada suatu angket yang diikuti 40 pelajar diketahui bahwa 32 orang lebih menyukai Internet Explorer, 18 orang lebih menyukai Mozilla Firefox, dan 2 orang tidak menyukai keduanya. Tentukanlah: a) Jumlah pelajar yang menyukai Internet Explorer atau Mozilla Firefox. b) Jumlah pelajar yang menyukai Internet Explorer atau Mozilla Firefox, tetapi tidak keduanya. Solusi: Misalkan U = { Jumlah keseluruhan pelajar yang mengikuti angket } A = { Jumlah pelajar yang lebih menyukai Internet Explorer } B = { Jumlah pelajar yang lebih menyukai Mozilla Firefox } Maka U= 40, A= 32, B= 18, A  B= 2

12 Prinsip Inklusi - Eksklusi
a) Jumlah pelajar yang menyukai Internet Explorer atau Mozilla Firefox. A  B = U – A  B = 40 – 2 = 38 b) Jumlah pelajar yang menyukai Internet Explorer atau Mozilla Firefox, tetapi tidak keduanya. A  B = A + B – A  B = – 38 = 12 A  B = A + B – 2A  B= – 212 = 26 AB AB

13 Prinsip Inklusi - Eksklusi
Untuk sembarang tiga himpunan A, B, dan C berlaku: A  B  C = A + B + C – A  B – A  C – B  C + A  B  C

14 Prinsip Inklusi - Eksklusi
Contoh: Di antara bilangan bulat antara 101 dan 600 (termasuk 101 dan 600 itu sendiri), berapa banyak bilangan yang tidak habis dibagi oleh 4 atau 5 atau yang habis dibagi oleh keduanya? Solusi: Misalkan U = { Jumlah bilangan bulat antara 101 dan 600, termasuk 101 dan 600 } A = { Anggota U yang habis dibagi 4 } B = { Anggota U yang habis dibagi 5 } Maka U= 500 A= 500/4 = 125 B= 500/5 = 100 A  B = 500/20 = 25 Ditanyakan: A  B? p  q  (p  q)  ~(p  q) ~(p  q)  (~p  ~q)  (p  q)

15 Prinsip Inklusi - Eksklusi
A= 500/4 = 125 B= 500/5 = 100 A  B = 500/20 = 25 A  B = A + B – 2A  B = – 225 = 175 A  B = U – A  B = 500 – 175 = 325

16 Pembuktian pada Proposisi Himpunan
Proposisi Himpunan adalah argumen yang mempergunakan notasi himpunan. Proposisi yang akan dibuktikan umumnya berbentuk kesamaan (identity). Contoh: Buktikan bahwa “A  (B  C) = (A  B)  (A  C).” Pembuktian pada proposisi himpunan dapat dilakukan dengan 2 cara: 1. Menggunakan tabel keanggotaan. 2. Menggunakan hukum-hukum aljabar himpunan.

17 Pembuktian Menggunakan Tabel Keanggotaan
Contoh: Buktikan bahwa “A  (B  C) = (A  B)  (A  C).” 1 : Bukan himpunan kosong (T) 0 : Himpunan kosong (F) Terbukti bahwa A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

18 Pembuktian Menggunakan Hukum-Hukum Aljabar Himpunan
Contoh: Buktikan bahwa “(A  B)  (A  B) = A.” Solusi: (A  B)  (A  B) = A  (B  B) Hk. Distributif = A  U Hk. Komplemen  = A Hk. Identitas Contoh: Buktikan bahwa “A  (B – A) = (A  B).” Solusi: A  (B – A) = A  (B  A) Def. Operasi Selisih = (A  B)  (A  A) Hk. Distributif = (A  B)  U Hk. Komplemen  = A  B Hk. Identitas

19 Pekerjaan Rumah (PR 4) Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B berlaku: a) A  (A  B) = A  B b) A  (A  B) = A  B

20 Pekerjaan Rumah (PR 4) New
Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B berlaku: a) A  (B  C) = (C  B)  A b) (B – A)  (C – A) = (B  C) –A