Upload presentasi
Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu
1
Pertemuan 3 2010 bilqis
2
Cara membuktikan Sub-bab 1.5 bilqis
3
Terminologi: Teorema: pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya
Ex : Bumi adalah bulat Argumen: rangkaian pernyataan yang membentuk bukti Aksioma: pernyataan yang digunakan dalam suatu bukti, yang kebenarannya bisa diasumsikan, diketahui, atau telah dibuktikan sebelumnya Aturan penentuan kesimpulan (rule of inference): cara menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan sebelumnya Lemma: teorema sederhana yang digunakan dalam membuktikan teorema lain bilqis
4
Terminologi: Corollary: proposisi yang merupakan akibat langsung dari teorema yang dibuktikan Ex : jika 3 sisi pada segitiga mempunyai panjang yang sama, maka segitiga itu juga mempunyai sudur yang sama Conjecture: pernyataan yang nilai kebenarannya belum diketahui bilqis
5
Aturan penentuan kesimpulan:
Addition : (p) (p v q) Simplification : (p q) (p) Conjunction : ((p) (q)) (p q) Modus ponens : (p (p q)) (q) Modus tollens : (q (p q )) (p) Hypothetical syllogism : ((p q) (q r )) (p r) Disjunctive syllogism : ((p v q) (p)) (q) Resolution : ((p v q) (p v r)) (q v r) bilqis
6
Simplification : (p q) (p)
Contoh: Addition : (p) (p v q) Hari ini Jumat Hari ini Jumat atau kita sedang belajar Simplification : (p q) (p) Hari ini Jumat dan tadi pagi Ayah menelepon Conjunction : ((p) (q)) (p q) Tadi pagi Ayah menelepon P P v q P ^ q P P q P ^ q bilqis
7
Modus ponens: (p (p q)) (q) Saya haus
Jika saya haus, maka saya minum air Saya minum air Modus tollens: (q (p q )) (p) Saya tidak minum air Saya tidak haus P P q q P q ~ q ~ P bilqis
8
Hypothetical syllogism: ((p q) (q r )) (p r)
Jika hari ini cerah, maka saya akan pergi Jika saya akan pergi, maka saya harus mengambil uang Jika hari ini cerah, maka saya harus mengambil uang Disjunctive syllogism: ((p v q) (p)) (q) Kemarin hari Selasa atau besok hari Senin Kemarin hari Kamis Besok hari Senin P q Q r P r P v q ~ p q bilqis
9
Resolution / Resolusi : ((p v q) (p v r)) (q v r)
q v r disebut resolvent P v q ~ p v r Q v r bilqis
10
Dari Bab 1 ekivalen Kontrapositif P q ekivalen dengan ~ p v q
P q ekivalen dengan ~ q ~ p P q ekivalen dengan ~ p v q bilqis
11
Kesalahan menentukan kesimpulan (fallacies)
Fallacy of confirming the conclusion: Jika hari ini cerah, maka saya akan pergi Saya akan pergi Hari ini cerah Fallacy of denying the hypothesis: Jika besok hari Sabtu, maka saya akan pulang Besok hari Kamis Saya tidak jadi pulang P q q P P q ~ p ~ q Kesimpulan salah, karena tidak ada dalam aturan yang 8 bilqis
12
If Randy works hard, then he is a dull boy
Contoh: soal Rossen halaman 73 no. 3 Construct an argument using rules of inference to show that the hypothesis Randy works hard If Randy works hard, then he is a dull boy If Randy is a dull boy, then he will not get the job imply the conclusion Randy will not get the job bilqis
13
Conclusion: Randy will not get the job
Contoh: soal Rossen halaman 73 no. 3 r: Randy works hard d: Randy is a dull boy j: Randy will not get the job Randy works hard r (1) If Randy works hard, then he is a dull boy r d (1) If Randy is a dull boy, then he will not get the job d j (1) Conclusion: Randy will not get the job Argumen: r (1) r d (1) maka d harus (1) d j (1) d (1) maka j harus (1) pengambilan kesimpulan (konklusi) benar bilqis
14
bilqis
15
bilqis
16
bilqis
17
Aturan penentuan kesimpulan untuk quantified statements
Universal instantiation Universal generalization Existential instantiation Existential generalization bilqis
18
bilqis
19
Contoh bilqis
20
Universal instantiation
diketahui : x P(x) untuk domain D buktikan : P(c) di mana c D contoh : x P(x) ; D = { mahasiswa di kelas ini } semua mahasiswa di kelas ini belajar MD c = Bayu D P(c) : Bayu belajar MD bilqis
21
(ROI) for Quantifier 1. Universal instantion Misal : Domain
X = wanita sebagai domain P(x) = x is wise C salah satu wanita Semua wanita adalah wise C adalah wise dengan syarat c E D P(lisa) lisa adalah wise dengan syarat lisa E D c bilqis
22
Universal generalization
diketahui : P(c) di mana c D = Domain = { …., –5, –3, –1 } buktikan : x P(x) contoh: P(c) = c integer negatif c3 integer negatif D = Domain = { …., –3, –2, –1 } c = –n di mana n = 1, 2, 3, …. c3 = (–n )*(–n )*(–n ) = –n3 x P(x) : jika x integer negatif, maka x3 integer negatif terbukti bilqis
23
2. Universal generalization
Misal : P(lisa) lisa adalah wise P(ili) ili adalah wise bilqis
24
Existential instantiation
diketahui : x P(x) buktikan : P(c) contoh : x P(x) = ada bilangan prima gasal P(c) = 5 bilangan prima gasal bilqis
25
3. Existential Instantiation
min ada 1 wanita yang wise lisa adalah wanita yang wise bilqis
26
Existential generalization
diketahui : P(c) buktikan : x P(x) contoh : P(c) = 5 bilangan prima gasal x P(x) = ada bilangan prima gasal bilqis
27
4. Existential Generalization
bilqis
28
Membuktikan teorema berbentuk
p q Bukti langsung (direct proof) Bukti tidak langsung (indirect proof) Bukti hampa (vacuous proof) Bukti mudah (trivial proof) bilqis
29
Method of Profing Theorem
1. Direct Proof Untuk p q : Asumsi P adalah benar Buktikan bahwa q juga benar, misal dengan ROI Ex : bilqis
30
Bukti langsung (direct proof)
Teorema: “Jika n integer gasal, maka n2 integer gasal” Bukti: n = 2k + 1 integer gasal; k sembarang integer n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2 (2k2 + 2k) (n2 integer gasal) n integer gasal n2 integer gasal (terbukti) bilqis
31
2. Indirect Proof P q equivalen dengan contrapositif ~q ~p Ex :
Asumsikan ~q adalah benar Maka buktikan ~p juga benar Ex : bilqis
32
Bukti tidak langsung (indirect proof)
Teorema: “jika 3n + 2 gasal, maka n gasal” Ekivalen dengan “jika n genap, maka 3n + 2 genap” Bukti: n = 2k; k sembarang integer 3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2 (3k) + 2 = 2 (3k +1) jika n genap, maka 3n + 2 genap jika 3n + 2 gasal, maka n gasal (terbukti) bilqis
33
Voucous Proof : Jika nilai var diket
Jika kita bisa membuktikan bahwa P salah, krn Jika P salah maka tidak peduli Q benar atau salah, proposisi pasti benar bilqis
34
Bukti hampa (vacuous proof):
Implikasi p q mempunyai nilai kebenaran TRUE apabila p bernilai FALSE Contoh: “jika n > 1 maka n2 > n, untuk n = 0” p : 0 > 1 (FALSE) q : 02 > 0 (FALSE) p q TRUE maka “teorema” terbukti bilqis
35
4. Trivial Proof Jika nilai var diket
Jika kita bisa membuktikan bahwa q benar, krn Jika q benar, maka tidak peduli apakah P benar atau salah, proposisi pasti benar bilqis
36
Bukti mudah (trivial proof)
Implikasi p q mempunyai nilai kebenaran TRUE apabila q bernilai TRUE Contoh: “jika a b maka an bn, untuk n = 0” p : a b q : a0 b0 (TRUE) maka “teorema” terbukti bilqis
37
Bukti per kasus (proof by cases)
Teorema: |xy| = |x| |y| untuk semua bilangan nyata Bukti: x y |xy| |x| |y| 1 >= 0 xy 2 < 0 -(xy) x(-y) 3 (-x)y 4 (-x)(-y) bilqis
38
Bukti teorema berbentuk ekivalensi “p q”
Buktikan p q Buktikan q p Bukti teorema berbentuk “p, q, r, s ekivalen” Buktikan q r Buktikan r s Buktikan s p bilqis
39
Cara-cara pembuktian lain:
Existence Proof Constructive Non Constructive 2. Proof by Counter Examples bilqis
40
Constructive Proof Teorema:
“ada sebuah integer yang dapat dinyatakan sebagai jumlah dari pangkat-tiga dua integer positif, dalam dua cara berbeda” Bukti: dengan trial-and error didapatkan 1729 = dan 1729 = bilqis
41
Non Constructive Proof
Teorema: “Ada dua bilangan irasional x dan y yang menghasilkan xy rasional” Bukti: ( x = dan y = 2 ) maka = 2 rasional sehingga teorema terbukti 2 2 bilqis
42
Proof by Counter Examples
Teorema: “tiap integer positif merupakan jumlah dari kuadrat tiga integer” adalah pernyataan yang salah Bukti: usahakan menemukan satu contoh yang meng-counter pernyataan di atas 02 = = = 4 32 = 9 0 = = = 1 = = = ? 2 = = 7 tidak dapat dibentuk dari jumlah kuadrat tiga integer ( 7 disebut counter example ) terbukti pernyataan di atas salah (false) bilqis
43
PR (kerjakan 5 saja) Bilqis : 1.5 1, 5, 7, 9, 13, 23 bilqis
Presentasi serupa
© 2024 SlidePlayer.info Inc.
All rights reserved.